Fiche à trous · 4ème · Mathématiques

Statistiques — Moyenne, médiane, quartiles et dispersion

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Deux classes peuvent avoir exactement la même moyenne et n'avoir rien à voir : l'une groupée autour de 12, l'autre partagée entre 5 et 19. Un seul nombre ne décrit jamais une série. Ce chapitre ajoute ce qui manque : où se situe le milieu, et à quel point les valeurs s'écartent.

Moyenne et médiane ne disent pas la même chose

Définition — moyenne pondérée :

Définition — médiane :

C'est pourquoi on parle du salaire médian et non du salaire moyen quand on décrit une population : quelques très hauts revenus suffisent à déplacer la moyenne vers le haut sans que la situation du plus grand nombre ait changé. Choisir l'indicateur, c'est déjà interpréter.

Les quartiles : découper la série en quatre

Définition — quartiles :

Trouver $Q_1$ et $Q_3$

Piège

Calculer la médiane sans avoir rangé la série.

réécrire la série rangée sur la copie, en entier. C'est deux minutes qui sécurisent toutes les questions suivantes.

Deux séries se comparent en deux temps : d'abord leur position — moyennes et médianes — puis leur dispersion — étendue et écart interquartile. Une réponse qui ne compare que les moyennes est incomplète : c'est précisément ce que ce chapitre existe pour dépasser.

Étendue et interprétation

Définition — étendue :

Exemple

Deux séries de sept notes : A = 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 et B = 2 ; 11 ; 11 ; 12 ; 13 ; 13 ; 22.

Résultat :

Définition — histogramme :

Regrouper une série en classes

Exemple

Les tailles de 30 élèves, regroupées en classes de 10 cm : [150 ; 160[ : 4 élèves ; [160 ; 170[ : 11 ; [170 ; 180[ : 12 ; [180 ; 190[ : 3.

Résultat :

24.

Exemple

Sur la série regroupée précédente, quelle est la taille moyenne des 30 élèves ?

Résultat :

Piège

Dessiner un histogramme comme un diagramme en barres, avec des colonnes séparées et de même largeur.

des rectangles jointifs, et une largeur qui suit celle de la classe : une classe deux fois plus large se dessine deux fois plus large.

Ai-je rangé la série avant de chercher médiane ou quartiles ?
Ai-je divisé par la somme des effectifs, et non par le nombre de valeurs distinctes ?
Le rang non entier a-t-il été arrondi vers le haut ?
Ai-je comparé la dispersion, et pas seulement les moyennes ?

Corrigé · à détacher

Statistiques — Moyenne, médiane, quartiles et dispersion

1. On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne le tout, et on divise par l'effectif total. C'est le point d'équilibre de la série : si toutes les valeurs étaient identiques, ce serait celle-là.
2. $\overline{x} = \frac{n _{1} x _{1} + n _{2} x _{2} + \dots + n _{p} x _{p}}{n _{1} + n _{2} + \dots + n _{p}}$
3. On range les valeurs dans l'ordre croissant, et on prend celle du milieu. Avec un effectif pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales. La moitié de la série est en dessous, la moitié au-dessus.
4. La moyenne se laisse tirer par une valeur extrême ; la médiane, non.
5. Une fois la série rangée, $Q_{1}$ est la plus petite valeur telle qu'au moins un quart des données lui soient inférieures ou égales ; $Q_{3}$ correspond aux trois quarts. $Q_{2}$ est la médiane. L'écart interquartile $Q_{3} - Q_{1}$ contient la moitié centrale de la série : c'est la mesure de dispersion la plus robuste.
6. Ranger les $N$ valeurs dans l'ordre croissant. Sans cela, tout le reste est faux.
7. Calculer $\frac{N}{4}$ . Si le résultat est entier, $Q_{1}$ est la valeur de ce rang ; sinon, on prend le rang immédiatement supérieur.
8. Même chose avec $\frac{3 N}{4}$ pour $Q_{3}$ .
9. La boîte contient la moitié des valeurs ; les moustaches, les extrêmes.
10. La différence entre la plus grande et la plus petite valeur. C'est la mesure de dispersion la plus simple — et la plus fragile : une seule valeur aberrante suffit à la tripler, alors que l'écart interquartile ne bouge pas. Les deux se donnent ensemble, jamais l'une sans l'autre.
11. Les deux ont la même médiane, 12, et des moyennes proches.
12. Étendue de A :
13. Étendue de B :
14. Pourtant l'écart interquartile de B vaut $13 - 11 = 2$ , contre $14 - 10 = 4$ pour A : la moitié centrale de B est plus groupée que celle de A.
15. l'étendue et l'écart interquartile classent ces deux séries en sens inverse
16. Quand les valeurs sont trop nombreuses pour être listées — des tailles, des salaires, des durées — on les regroupe par classes : [150 ; 160[, [160 ; 170[… L'histogramme représente alors chaque classe par un rectangle dont l'aire est proportionnelle à l'effectif. C'est le diagramme des données continues.
17. Repérer les extrêmes de la série, puis choisir des classes de même largeur qui les couvrent toutes.
18. Fixer la convention de bord et la garder : $[150; 160 [$ contient 150 mais pas 160, qui appartient à la classe suivante.
19. Compter les valeurs de chaque classe, et vérifier que la somme des effectifs redonne l'effectif total.
20. Chaque rectangle a la largeur de sa classe — ici 10 cm pour toutes — et une hauteur proportionnelle à l'effectif. Les rectangles se touchent.
21. Contrôle : la somme des effectifs doit redonner le total.
22. On perd l'information exacte — on ne sait plus qu'un élève mesurait 163 cm — et l'on gagne la forme de la répartition, invisible sur une liste de trente nombres.
23. la moitié des élèves se concentre entre 160 et 180 cm
24. Des rectangles jointifs : les classes se touchent parce que les valeurs sont continues.
25. Les valeurs exactes sont perdues : on remplace chaque classe par son centre — 155, 165, 175, 185 — et l'on calcule une moyenne pondérée.
26. Le numérateur.
27. On divise par l'effectif total.
28. Ce résultat est une valeur approchée : la vraie moyenne des trente tailles exactes en diffère un peu. Le regroupement l'a rendue calculable, pas exacte.
29. la taille moyenne est d'environ 169,7 cm