Statistiques — Moyenne, médiane, quartiles et dispersion

moyenne pondérée — On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne le tout, et on divise par l'effectif total. C'est le point d'équilibre de la série : si toutes les valeurs étaient identiques, ce serait celle-là.

médiane — On range les valeurs dans l'ordre croissant, et on prend celle du milieu. Avec un effectif pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales. La moitié de la série est en dessous, la moitié au-dessus.

quartiles — Une fois la série rangée, $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu'au moins un quart des données lui soient inférieures ou égales ; $Q_3$ correspond aux trois quarts. $Q_2$ est la médiane. L'écart interquartile $Q_3-Q_1$ contient la moitié centrale de la série : c'est la mesure de dispersion la plus robuste.

Trouver $Q_1$ et $Q_3$

1. Ranger les $N$ valeurs dans l'ordre croissant. Sans cela, tout le reste est faux.
2. Calculer $\frac{N}{4}$. Si le résultat est entier, $Q_1$ est la valeur de ce rang ; sinon, on prend le rang immédiatement supérieur.on arrondit toujours vers le haut : il faut atteindre le quart, pas s'en approcher.
3. Même chose avec $\frac{3N}{4}$ pour $Q_3$.

étendue — La différence entre la plus grande et la plus petite valeur. C'est la mesure de dispersion la plus simple — et la plus fragile : une seule valeur aberrante suffit à la tripler, alors que l'écart interquartile ne bouge pas. Les deux se donnent ensemble, jamais l'une sans l'autre.

Deux séries de sept notes : A = 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 et B = 2 ; 11 ; 11 ; 12 ; 13 ; 13 ; 22.

1. Les deux ont la même médiane, 12, et des moyennes proches.$\frac{9+10+11+12+13+14+15}{7}=12$
2. Étendue de A :$15-9=6$
3. Étendue de B :$22-2=20$
4. Pourtant l'écart interquartile de B vaut $13-11=2$, contre $14-10=4$ pour A : la moitié centrale de B est plus groupée que celle de A.

l'étendue et l'écart interquartile classent ces deux séries en sens inverse

histogramme — Quand les valeurs sont trop nombreuses pour être listées — des tailles, des salaires, des durées — on les regroupe par classes : [150 ; 160[, [160 ; 170[… L'histogramme représente alors chaque classe par un rectangle dont l'aire est proportionnelle à l'effectif. C'est le diagramme des données continues.

Regrouper une série en classes

1. Repérer les extrêmes de la série, puis choisir des classes de même largeur qui les couvrent toutes.
2. Fixer la convention de bord et la garder : $[150;160[$ contient 150 mais pas 160, qui appartient à la classe suivante.sans cette convention, un élève de 160 cm serait compté deux fois — ou zéro.
3. Compter les valeurs de chaque classe, et vérifier que la somme des effectifs redonne l'effectif total.

Les tailles de 30 élèves, regroupées en classes de 10 cm : [150 ; 160[ : 4 élèves ; [160 ; 170[ : 11 ; [170 ; 180[ : 12 ; [180 ; 190[ : 3.

1. Chaque rectangle a la largeur de sa classe — ici 10 cm pour toutes — et une hauteur proportionnelle à l'effectif. Les rectangles se touchent.
2. Contrôle : la somme des effectifs doit redonner le total.$4+11+12+3=30$
3. On perd l'information exacte — on ne sait plus qu'un élève mesurait 163 cm — et l'on gagne la forme de la répartition, invisible sur une liste de trente nombres.c'est tout l'intérêt du regroupement, et sa seule perte.

la moitié des élèves se concentre entre 160 et 180 cm

Sur la série regroupée précédente, quelle est la taille moyenne des 30 élèves ?

1. Les valeurs exactes sont perdues : on remplace chaque classe par son centre — 155, 165, 175, 185 — et l'on calcule une moyenne pondérée.
2. Le numérateur.$4\times 155+11\times 165+12\times 175+3\times 185=5090$
3. On divise par l'effectif total.$\frac{5090}{30}\approx 169,7$
4. Ce résultat est une valeur approchée : la vraie moyenne des trente tailles exactes en diffère un peu. Le regroupement l'a rendue calculable, pas exacte.plus les classes sont étroites, plus l'approximation est bonne.

la taille moyenne est d'environ 169,7 cm