Fiche à trous · 4ème · Mathématiques

Théorème de Thalès — Configuration et agrandissement

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Thalès dit une chose simple : deux droites parallèles découpent deux sécantes dans les mêmes proportions. C'est ce qui permet de mesurer une pyramide avec un bâton, ou la largeur d'une rivière sans la traverser. Toute la difficulté est de reconnaître la configuration et d'écrire les rapports dans le bon ordre.

Reconnaître la configuration

Règle

Écrire les rapports sans se tromper

Exemple

$A M = 4$ cm, $A B = 10$ cm, $A C = 15$ cm et $(M N) ∥ (B C)$ . Calculer $A N$ .

Résultat :

Piège

Mélanger les deux triangles dans un même rapport, comme $\frac{A M}{A C}$ .

avant d'écrire, tracer les longueurs au crayon sur la figure. Un rapport correct se lit toujours le long d'un seul segment de droite.

Agrandissement et réduction

Définition — coefficient d'agrandissement :

Propriété

C'est pourquoi une photo agrandie deux fois occupe quatre fois plus de papier, et pourquoi une maquette au 1/100 d'un bâtiment a une façade dix mille fois plus petite que l'originale. Le réflexe « je multiplie l'aire par $k$ » est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles

Règle

Piège

Lire le parallélisme sur le dessin au lieu de le démontrer.

chercher dans l'énoncé la phrase qui donne le parallélisme. Si elle n'y est pas, c'est qu'il faut le démontrer avec la réciproque — et c'est la question.

Exemple

Une maquette d'immeuble est au 1/200. Sa hauteur sur la maquette est de 9 cm et la façade y occupe 45 cm².

Résultat :

Le parallélisme est-il donné par l'énoncé, ou dois-je le démontrer ?
Ai-je repéré le sommet commun avant d'écrire le moindre rapport ?
Chacun de mes rapports se lit-il le long d'une seule sécante ?
S'agit-il d'une aire ? Alors le coefficient est $k^{2}$ , pas $k$ .
Le petit triangle est-il bien resté le plus petit dans ma réponse ?

Corrigé · à détacher

Théorème de Thalès — Configuration et agrandissement

1. Emboîté quand le sommet est en dehors des parallèles, papillon quand il est entre elles.
2. Si $M$ appartient à $(A B)$ , $N$ à $(A C)$ et si $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ , alors les trois rapports sont égaux.
3. $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$
4. Repérer le sommet commun — le point par lequel passent les deux sécantes. C'est lui qui ouvre chaque longueur du numérateur et du dénominateur.
5. Écrire les trois rapports en partant toujours du sommet : petit triangle au numérateur, grand au dénominateur.
6. Ne garder que le rapport qui contient l'inconnue et deux longueurs connues, puis faire le produit en croix.
7. On écrit le rapport utile, celui qui relie les deux sécantes :
8. On remplace par les valeurs connues :
9. Produit en croix :
10. AN = 6 cm
11. Quand $(M N) ∥ (B C)$ , le petit triangle $A M N$ est une réduction du grand triangle $A B C$ . Le rapport commun $k = \frac{A M}{A B}$ est le coefficient : $k < 1$ pour une réduction, $k > 1$ pour un agrandissement. Toutes les longueurs sont multipliées par $k$ , et les angles ne changent pas.
12. Les aires, elles, ne suivent pas le même coefficient : elles sont multipliées par $k^{2}$ . Doubler les longueurs d'une figure quadruple son aire.
13. $aire r \overset{e}{ˊ} duite = k^{2} \times aire d’origine$
14. Si les points sont alignés dans le même ordre sur les deux sécantes et si les deux rapports sont égaux, alors les droites sont parallèles. La condition d'ordre n'est pas un détail : sans elle, la conclusion est fausse.
15. $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} ⟹ (M N) ∥ (B C)$
16. Les longueurs réelles sont 200 fois plus grandes :
17. L'immeuble mesure donc 1 800 cm, soit 18 m.
18. Les aires, elles, sont multipliées par $20 0^{2}$ :
19. 1 800 000 cm², soit 180 m² de façade