Lors d'un match de football, l'attaquant Kylian Mbappé court en ligne droite vers le but depuis le point A. Un arbitre placé en B (sur la touche) mesure l'angle angle BAO = 30° avec le poteau O. Un coéquipier en C (à 20 m de O) remarque que la trajectoire de Mbappé est parallèle à la ligne de touche CO. Quelle est la distance AO parcourue par l'attaquant ?

AO = 20 × tan 30° ≈ 11,55 m

AO = 20 × cos 30° ≈ 17,32 m

📐 Mathématiques4e4èmeSans inscription

Théorème de Thalès — Configuration et agrandissement

Programme en vigueur — arrêté du 9 novembre 2015, applicable en 4ème depuis la rentrée 2016. Voir le texte

La règle d'or

Les longueurs sont multipliées par le coefficient, les aires par son carré : doubler les dimensions d'une figure quadruple sa surface.

L'erreur que tout le monde fait

Mélanger les deux triangles dans un même rapport, en écrivant par exemple AM sur AC.

AM se mesure sur une sécante et AC sur l'autre : ce rapport ne compare rien. Thalès compare le petit triangle au grand le long d'une même droite, ou les deux bases entre elles — jamais une longueur d'un côté avec une longueur de l'autre.

Repasser les longueurs au crayon sur la figure avant d'écrire. Un rapport correct se lit toujours le long d'un seul segment de droite.

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Notions à maîtriser

Thalès
parallèles
rapport
agrandissement
réduction
sécantes

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Fiche de révision

Théorème de Thalès : configurations clés

Théorème de Thalès — Configuration et agrandissement 1. Définition et configuration Le théorème de Thalès s’applique dans une configuration de deux droites sécantes coupées par

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Thalès dit une chose simple : deux droites parallèles découpent deux sécantes dans les mêmes proportions. C'est ce qui permet de mesurer une pyramide avec un bâton, ou la largeur d'une rivière sans la traverser. Toute la difficulté est de reconnaître la configuration et d'écrire les rapports dans le bon ordre.

1Reconnaître la configuration

Emboîté quand le sommet est en dehors des parallèles, papillon quand il est entre elles.

Règle

Si $M$ appartient à $(A B)$ , $N$ à $(A C)$ et si $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ , alors les trois rapports sont égaux.

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

Écrire les rapports sans se tromper

Repérer le sommet commun — le point par lequel passent les deux sécantes. C'est lui qui ouvre chaque longueur du numérateur et du dénominateur.
Écrire les trois rapports en partant toujours du sommet : petit triangle au numérateur, grand au dénominateur.garder le même sens partout est la seule protection contre l'inversion.
Ne garder que le rapport qui contient l'inconnue et deux longueurs connues, puis faire le produit en croix.

Exemple

$A M = 4$ cm, $A B = 10$ cm, $A C = 15$ cm et $(M N) ∥ (B C)$ . Calculer $A N$ .

On écrit le rapport utile, celui qui relie les deux sécantes : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$
On remplace par les valeurs connues : $\frac{4}{10} = \frac{A N}{15}$
Produit en croix : $A N = \frac{4 \times 15}{10} = 6$

AN = 6 cm

Piège

Mélanger les deux triangles dans un même rapport, comme $\frac{A M}{A C}$ .

Pourquoi — $A M$ appartient à une sécante et $A C$ à l'autre : ce rapport ne compare rien. Thalès compare le petit triangle au grand sur la même droite, ou les deux bases entre elles.

Le réflexe — avant d'écrire, tracer les longueurs au crayon sur la figure. Un rapport correct se lit toujours le long d'un seul segment de droite.

2Agrandissement et réduction

Définition

coefficient d'agrandissement — Quand $(M N) ∥ (B C)$ , le petit triangle $A M N$ est une réduction du grand triangle $A B C$ . Le rapport commun $k = \frac{A M}{A B}$ est le coefficient : $k < 1$ pour une réduction, $k > 1$ pour un agrandissement. Toutes les longueurs sont multipliées par $k$ , et les angles ne changent pas.

Propriété

Les aires, elles, ne suivent pas le même coefficient : elles sont multipliées par $k^{2}$ . Doubler les longueurs d'une figure quadruple son aire.

aire r \overset{e}{ˊ} duite = k^{2} \times aire d’origine

C'est pourquoi une photo agrandie deux fois occupe quatre fois plus de papier, et pourquoi une maquette au 1/100 d'un bâtiment a une façade dix mille fois plus petite que l'originale. Le réflexe « je multiplie l'aire par $k$ » est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

3La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles

Règle

Si les points sont alignés dans le même ordre sur les deux sécantes et si les deux rapports sont égaux, alors les droites sont parallèles. La condition d'ordre n'est pas un détail : sans elle, la conclusion est fausse.

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} ⟹ (M N) ∥ (B C)

Piège

Lire le parallélisme sur le dessin au lieu de le démontrer.

Pourquoi — une figure n'est jamais une preuve — elle est dessinée à main levée ou codée pour induire en erreur. Utiliser Thalès sans avoir établi le parallélisme, c'est utiliser une hypothèse qu'on n'a pas.

Le réflexe — chercher dans l'énoncé la phrase qui donne le parallélisme. Si elle n'y est pas, c'est qu'il faut le démontrer avec la réciproque — et c'est la question.

Exemple

Une maquette d'immeuble est au 1/200. Sa hauteur sur la maquette est de 9 cm et la façade y occupe 45 cm².

Les longueurs réelles sont 200 fois plus grandes : $9 \times 200 = 1800$
L'immeuble mesure donc 1 800 cm, soit 18 m.
Les aires, elles, sont multipliées par $20 0^{2}$ : $45 \times 40000 = 1800000$

1 800 000 cm², soit 180 m² de façade

▢Le parallélisme est-il donné par l'énoncé, ou dois-je le démontrer ?
▢Ai-je repéré le sommet commun avant d'écrire le moindre rapport ?
▢Chacun de mes rapports se lit-il le long d'une seule sécante ?
▢S'agit-il d'une aire ? Alors le coefficient est $k^{2}$ , pas $k$ .
▢Le petit triangle est-il bien resté le plus petit dans ma réponse ?

L'essentiel en 6 points

·Thalès exige deux droites parallèles — donnée ou démontrée, jamais lue sur le dessin.
·Partir du sommet commun et garder le même sens dans les trois rapports.
·Un rapport correct se lit le long d'une seule sécante : jamais $\frac{A M}{A C}$ .
·Les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires par $k^{2}$ .
·La réciproque exige que les points soient alignés dans le même ordre.
·Contrôle de bon sens : le petit triangle doit rester le petit.

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Au sommaire du cours

1. Reconnaître la configuration
2. Agrandissement et réduction
3. La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles

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Exercices corrigés

Calculer une longueur en configuration emboîtée

Calculer

a. $A M = 3$ cm, $A B = 12$ cm, $A N = 5$ cm. Calcule $A C$ .
b. $A M = 6$ cm, $A B = 9$ cm, $B C = 15$ cm. Calcule $M N$ .

›Voir le corrigé

a. On écrit le rapport reliant les deux sécantes : $\frac{3}{12} = \frac{5}{A C}$
Produit en croix : $A C = \frac{12 \times 5}{3} = 20$
Donc $A C = 20$ cm. Contrôle de bon sens : $A C$ doit être plus grand que $A N$ , et il l'est.
b. Le rapport vaut $\frac{6}{9}$ , et il s'applique aussi aux bases : $M N = \frac{6 \times 15}{9} = 10$
Donc $M N = 10$ cm — plus court que $B C$ , ce qui est cohérent avec une réduction.

Configuration papillon

Calculer

a. $(M C)$ et $(N B)$ se coupent en $A$ , avec $(M N) ∥ (B C)$ . On donne $A M = 4$ cm, $A C = 10$ cm, $A N = 6$ cm. Calcule $A B$ .
b.Pourquoi la méthode est-elle la même que dans le triangle emboîté ?

›Voir le corrigé

a. Le sommet commun reste $A$ , et les rapports s'écrivent de la même façon : $\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}$
On remplace : $\frac{4}{10} = \frac{6}{A B}$
Produit en croix : $A B = \frac{10 \times 6}{4} = 15$
Donc $A B = 15$ cm.
b. Parce que le théorème ne parle pas de la forme du dessin, mais du sommet commun et des parallèles. Le papillon n'est qu'un emboîté vu de l'autre côté du point $A$ .

Agrandissement et aire

Raisonner

a.Un triangle d'aire 12 cm² est agrandi dans le rapport $k = 3$ . Quelle est la nouvelle aire ?
b.Une maquette est au 1/50. Une pièce de 8 m² sur le plan réel occupe quelle surface sur la maquette ?
c.Quel est le coefficient qui multiplie les longueurs si l'aire est multipliée par 25 ?

›Voir le corrigé

a. L'aire est multipliée par $k^{2}$ , soit $9$ : $12 \times 9 = 108$
La nouvelle aire vaut 108 cm², et non 36 cm² comme le suggère le réflexe erroné.
b. Le coefficient vaut $\frac{1}{50}$ , donc les aires sont divisées par $5 0^{2} = 2500$ : $8/2500 = 0, 0032$
Soit 0,0032 m², c'est-à-dire 32 cm². Le résultat en cm² est plus parlant qu'en m².
c. Si $k^{2} = 25$ alors $k = 5$ : les longueurs sont multipliées par 5.

Démontrer que deux droites sont parallèles

Raisonner

a. $A$ , $M$ , $B$ sont alignés dans cet ordre avec $A M = 3$ cm et $A B = 7, 5$ cm. $A$ , $N$ , $C$ sont alignés dans cet ordre avec $A N = 4$ cm et $A C = 10$ cm. Les droites $(M N)$ et $(B C)$ sont-elles parallèles ?

›Voir le corrigé

On vérifie d'abord l'ordre. Les points sont alignés dans le même ordre sur les deux sécantes : la réciproque est applicable.
Premier rapport : $\frac{3}{7 , 5} = 0, 4$
Second rapport : $\frac{4}{10} = 0, 4$
Les deux rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(M N)$ et $(B C)$ sont parallèles.
Une démonstration complète cite l'ordre des points, les deux calculs, et nomme la réciproque. Répondre « oui, ça a l'air parallèle » ne vaut rien.

Mesurer sans traverser

Modéliser

a.Pour mesurer la largeur $B C$ d'une rivière, on place un piquet en $A$ sur la berge, puis $M$ et $N$ tels que $(M N) ∥ (B C)$ . On mesure $A M = 5$ m, $A B = 20$ m et $M N = 3, 5$ m. Quelle est la largeur de la rivière ?

›Voir le corrigé

Le rapport de réduction se lit sur la sécante mesurable : $\frac{A M}{A B} = \frac{5}{20} = 0, 25$
Ce même rapport s'applique aux deux bases : $\frac{M N}{B C} = 0, 25$
Donc : $B C = \frac{3 , 5}{0 , 25} = 14$
La rivière mesure 14 m de large.
Contrôle de bon sens : $B C$ doit être quatre fois plus grand que $M N$ , puisque $A B$ est quatre fois plus grand que $A M$ . $3, 5 \times 4 = 14$ .

Repérer l'erreur

Raisonner

a.« $A M = 4$ , $A B = 12$ , $A N = 5$ , donc $\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}$ »
b.« L'aire est multipliée par 3 quand les longueurs le sont. »

›Voir le corrigé

a. Les deux rapports croisent les sécantes : $A M$ et $A C$ ne sont pas sur la même droite.
La bonne écriture garde chaque sécante de son côté : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$
b. Faux : l'aire est multipliée par $k^{2}$ , donc par 9.
Vérification sur un carré de côté 2, d'aire 4 : agrandi 3 fois, son côté vaut 6 et son aire 36, soit bien $4 \times 9$ . $6^{2} = 36$

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Citer le parallélisme comme hypothèse avant d'appliquer le théorème2 ptsPerdu si : Utiliser Thalès sans dire d'où vient le parallélisme
Écrire les rapports sans croiser les sécantes2 ptsPerdu si : Mélanger deux droites dans un même rapport
Multiplier les aires par $k^{2}$ et non par $k$2 ptsPerdu si : Appliquer le coefficient des longueurs à une aire
Vérifier l'ordre des points avant d'invoquer la réciproque1 ptPerdu si : Conclure au parallélisme sans cette vérification
Conclure par une phrase, avec l'unité1 ptPerdu si : S'arrêter au nombre sans dire ce qu'il mesure

La méthode

Écrire les rapports de Thalès sans se tromper

1
Vérifier que le parallélisme est donné par l'énoncé, et non lu sur le dessin.
2
Repérer le sommet commun aux deux sécantes.
3
Partir de ce sommet et garder le même sens de lecture dans les trois rapports.
4
Contrôler que chaque rapport se lit le long d'une seule sécante.
5
Élever le coefficient au carré dès qu'il s'agit d'une aire et non d'une longueur.

Se tester

Touches 1 à 4

Mathématiques4ème

Question 1

Un satellite en orbite autour de la Lune mesure une distance de

500\text{ km}

entre deux points

A

B

à la surface lunaire. Depuis son orbite, il observe que la distance apparente entre ces deux points est de

200\text{ km}

. Si la distance du satellite au centre de la Lune est de

1737\text{ km}

(rayon lunaire), quelle est la distance réelle

d

entre le satellite et le point

A

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Questions fréquentes

Théorème de Thalès — Configuration et agrandissement : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au collège, en classe de 4ème. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Théorème de Thalès — Configuration et agrandissement ?

Configuration de Thalès : deux droites sécantes coupées par deux parallèles. Rapport de proportionnalité des longueurs. Agrandissements et réductions. Réciproque (introduction). Calcul de longueurs inconnues. Les notions à maîtriser sont : Thalès, parallèles, rapport, agrandissement, réduction, sécantes.

Où télécharger la fiche PDF de Théorème de Thalès — Configuration et agrandissement ?

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Le corrigé de Théorème de Thalès — Configuration et agrandissement est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Comment réviser Théorème de Thalès — Configuration et agrandissement efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Théorème de Thalès — Configuration et agrandissement ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

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