Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Fractions — Multiplication, division et calculs avancés

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Multiplier des fractions est plus simple qu'en additionner : pas de dénominateur commun à chercher, on multiplie tout droit. C'est l'inverse de ce qu'on attend, et c'est ce qui rend le chapitre déroutant — la règle facile n'est pas celle qu'on croit.

Définition — quotient :

Multiplier : tout droit

Règle

Simplifier avant de multiplier

Exemple

Calculer $\frac{14}{25} \times \frac{15}{21}$ .

Résultat :

Diviser : multiplier par l'inverse

Règle

Cela explique un résultat qui surprend : diviser par une fraction inférieure à 1 augmente le nombre. $6 \div \frac{1}{2} = 12$ , parce qu'on demande combien de demis tiennent dans 6 — et il y en a douze. La division ne « diminue » que lorsqu'on divise par un nombre supérieur à 1.

Piège

Chercher un dénominateur commun pour multiplier.

regarder le signe de l'opération avant tout : $+$ ou $-$ appellent un dénominateur commun, $\times$ et $\div$ non.

Additionner : le dénominateur commun

Additionner deux fractions

Exemple

Calculer $\frac{5}{6} + \frac{3}{8}$ .

Résultat :

L'opération est-elle $+$ ou $\times$ ? Le dénominateur commun ne sert qu'à la première.
Ai-je simplifié avant de multiplier, plutôt qu'après ?
Pour diviser, ai-je bien inversé la seconde fraction ?
Ma fraction finale est-elle irréductible ?

Corrigé · à détacher

Fractions — Multiplication, division et calculs avancés

1. Une écriture fractionnaire $\frac{a}{b}$ est d'abord un quotient : le nombre qui, multiplié par $b$ , redonne $a$ . C'est ce que dit la barre de fraction, et rien d'autre. $\frac{3}{4}$ est donc à la fois trois quarts d'un tout, le quotient de 3 par 4, et le nombre décimal 0,75 — trois façons de nommer la même quantité, et l'on choisit celle qui rend le calcul le plus simple.
2. $\frac{a}{b} \times b = a$
3. On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Aucun dénominateur commun n'est nécessaire.
4. $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
5. « Les deux tiers de trois quarts » est une multiplication, pas une addition.
6. Décomposer les nombres en facteurs quand ils sont grands, ou repérer directement un facteur commun entre un numérateur et un dénominateur.
7. Barrer les facteurs communs en croix avant de multiplier.
8. Multiplier ce qui reste, et vérifier que la fraction obtenue est irréductible.
9. On repère 7 en facteur de 14 et de 21, puis 5 en facteur de 15 et de 25.
10. Après simplification, il reste $\frac{2}{5} \times \frac{3}{3}$ … plus précisément $\frac{2 \times 3}{5 \times 3}$ :
11. On simplifie par 3 :
12. $\frac{2}{5}$
13. Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse — celle qu'on obtient en échangeant numérateur et dénominateur.
14. $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$
15. Chercher un dénominateur commun — le plus petit multiple commun, ou à défaut le produit des deux.
16. Multiplier chaque fraction par ce qu'il faut, numérateur et dénominateur ensemble : c'est ce qui garantit qu'on ne change pas sa valeur.
17. Additionner les numérateurs, garder le dénominateur, puis simplifier.
18. Le plus petit multiple commun de 6 et 8 est 24, et non 48 :
19. De même pour la seconde :
20. On additionne les numérateurs :
21. $\frac{29}{24}$ , irréductible