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Fractions — Multiplication, division et calculs avancés

Programme en vigueur — arrêté du 18 février 2026, applicable en 5ème depuis la rentrée 2026. Voir le texte

Multiplication de fractions : numérateur × numérateur / dénominateur × dénominateur. Division = multiplication par l'inverse. Simplification avant et après calcul. Fractions et décimaux : conversions. Addition de fractions de dénominateurs différents.

La règle d'or

Le dénominateur commun ne sert qu'à additionner : pour multiplier, on avance tout droit, et pour diviser, on multiplie par l'inverse de la seconde fraction.

L'erreur que tout le monde fait

Chercher un dénominateur commun avant de multiplier deux fractions.

Le dénominateur commun est l'outil de l'addition et de la soustraction : il sert à rendre comparables des parts de tailles différentes. En multiplication il ne sert à rien, fait perdre du temps et fabrique des nombres inutilement grands, qu'il faudra ensuite simplifier.

Regarder le signe de l'opération avant tout : un plus ou un moins appellent un dénominateur commun, une multiplication ou une division jamais.

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Notions à maîtriser

fraction
inverse
produit
quotient
simplification
dénominateur commun

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Fiche de révision

Fractions : Multiplier, diviser et calculer !

Fractions : Multiplication, division et calculs avancés 1. Multiplier des fractions Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs e

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Multiplier des fractions est plus simple qu'en additionner : pas de dénominateur commun à chercher, on multiplie tout droit. C'est l'inverse de ce qu'on attend, et c'est ce qui rend le chapitre déroutant — la règle facile n'est pas celle qu'on croit.

Définition

quotient — Une écriture fractionnaire $\frac{a}{b}$ est d'abord un quotient : le nombre qui, multiplié par $b$ , redonne $a$ . C'est ce que dit la barre de fraction, et rien d'autre. $\frac{3}{4}$ est donc à la fois trois quarts d'un tout, le quotient de 3 par 4, et le nombre décimal 0,75 — trois façons de nommer la même quantité, et l'on choisit celle qui rend le calcul le plus simple.

\frac{a}{b} \times b = a

1Multiplier : tout droit

Règle

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Aucun dénominateur commun n'est nécessaire.

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

« Les deux tiers de trois quarts » est une multiplication, pas une addition.

Simplifier avant de multiplier

Décomposer les nombres en facteurs quand ils sont grands, ou repérer directement un facteur commun entre un numérateur et un dénominateur.
Barrer les facteurs communs en croix avant de multiplier.simplifier après coup oblige à réduire $\frac{294}{462}$ ; simplifier avant laisse $\frac{7}{11}$ à écrire.
Multiplier ce qui reste, et vérifier que la fraction obtenue est irréductible.

Exemple

Calculer $\frac{14}{25} \times \frac{15}{21}$ .

On repère 7 en facteur de 14 et de 21, puis 5 en facteur de 15 et de 25. $\frac{14}{25} \times \frac{15}{21}$
Après simplification, il reste $\frac{2}{5} \times \frac{3}{3}$ … plus précisément $\frac{2 \times 3}{5 \times 3}$ : $\frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15}$
On simplifie par 3 : $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

$\frac{2}{5}$

2Diviser : multiplier par l'inverse

Règle

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse — celle qu'on obtient en échangeant numérateur et dénominateur.

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Cela explique un résultat qui surprend : diviser par une fraction inférieure à 1 augmente le nombre. $6 \div \frac{1}{2} = 12$ , parce qu'on demande combien de demis tiennent dans 6 — et il y en a douze. La division ne « diminue » que lorsqu'on divise par un nombre supérieur à 1.

Piège

Chercher un dénominateur commun pour multiplier.

Pourquoi — le dénominateur commun sert uniquement à additionner ou soustraire. En multiplication, il fait perdre du temps et introduit des nombres inutilement grands.

Le réflexe — regarder le signe de l'opération avant tout : $+$ ou $-$ appellent un dénominateur commun, $\times$ et $\div$ non.

3Additionner : le dénominateur commun

Additionner deux fractions

Chercher un dénominateur commun — le plus petit multiple commun, ou à défaut le produit des deux.
Multiplier chaque fraction par ce qu'il faut, numérateur et dénominateur ensemble : c'est ce qui garantit qu'on ne change pas sa valeur.
Additionner les numérateurs, garder le dénominateur, puis simplifier.

Exemple

Calculer $\frac{5}{6} + \frac{3}{8}$ .

Le plus petit multiple commun de 6 et 8 est 24, et non 48 : $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$
De même pour la seconde : $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$
On additionne les numérateurs : $\frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{29}{24}$

$\frac{29}{24}$ , irréductible

▢L'opération est-elle $+$ ou $\times$ ? Le dénominateur commun ne sert qu'à la première.
▢Ai-je simplifié avant de multiplier, plutôt qu'après ?
▢Pour diviser, ai-je bien inversé la seconde fraction ?
▢Ma fraction finale est-elle irréductible ?

L'essentiel en 6 points

·Multiplier : tout droit, numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux.
·Diviser : multiplier par l'inverse de la seconde fraction.
·Le dénominateur commun ne sert qu'à additionner ou soustraire.
·Simplifier avant de multiplier, jamais après : les nombres restent petits.
·Le mot « de » signale une multiplication : deux tiers de trois quarts.
·Diviser par un nombre inférieur à 1 augmente le résultat.

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Au sommaire du cours

1. Multiplier : tout droit
2. Diviser : multiplier par l'inverse
3. Additionner : le dénominateur commun

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Exercices corrigés

Multiplier et simplifier

Calculer

a. $\frac{3}{5} \times \frac{2}{7}$
b. $\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}$
c. $\frac{7}{12} \times 6$

›Voir le corrigé

a. Rien à simplifier : $\frac{3 \times 2}{5 \times 7} = \frac{6}{35}$
b. On simplifie 4 avec 8 et 3 avec 9 avant de multiplier : $\frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$
c. Un entier s'écrit $\frac{6}{1}$ : $\frac{7 \times 6}{12} = \frac{42}{12} = \frac{7}{2}$
Au c., simplifier 6 avec 12 dès le départ donnait directement $\frac{7}{2}$ , sans passer par 42.

Diviser

Calculer

a. $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$
b. $\frac{5}{9} \div \frac{10}{3}$
c. $8 \div \frac{1}{4}$

›Voir le corrigé

a. On multiplie par l'inverse de la seconde : $\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$
b. L'inverse de $\frac{10}{3}$ est $\frac{3}{10}$ : $\frac{5 \times 3}{9 \times 10} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$
c. Combien de quarts tiennent dans 8 ? $8 \times 4 = 32$
Le c. montre que diviser par un nombre inférieur à 1 augmente le résultat : c'est contre-intuitif et pourtant logique.

Additionner et soustraire

Calculer

a. $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$
b. $\frac{7}{10} - \frac{2}{5}$
c. $\frac{5}{6} + \frac{7}{9}$

›Voir le corrigé

a. Dénominateur commun 12 : $\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$
b. 10 est déjà multiple de 5 : seule la seconde fraction change. $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$
Puis on soustrait : $\frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$
c. Le plus petit multiple commun de 6 et 9 est 18, pas 54 : $\frac{15}{18} + \frac{14}{18} = \frac{29}{18}$
Chercher le plus petit multiple commun évite des nombres inutilement grands — et donc des erreurs de calcul.

Fractions et décimaux

Calculer

a.Écris $\frac{3}{8}$ en décimal.
b.Écris $0, 45$ en fraction irréductible.
c.Compare $\frac{5}{8}$ et $0, 6$ .

›Voir le corrigé

a. On divise 3 par 8 : $3/8 = 0, 375$
b. $0, 45 = \frac{45}{100}$ , qu'on simplifie par 5 : $\frac{45}{100} = \frac{9}{20}$
c. On convertit la fraction en décimal : $5/8 = 0, 625$
Donc $\frac{5}{8} > 0, 6$ . Passer par les décimaux est ici plus rapide que de chercher un dénominateur commun.

Un problème de partage

Modéliser

a.Un jardin occupe $\frac{3}{5}$ d'un terrain. On y consacre $\frac{2}{3}$ aux légumes. Quelle fraction du terrain les légumes occupent-ils ?
b.Le terrain mesure 450 m². Quelle est la surface des légumes ?

›Voir le corrigé

a. « Les deux tiers de trois cinquièmes » : le mot de signale une multiplication. $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{15}$
On simplifie par 3 : $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
Les légumes occupent donc deux cinquièmes du terrain.
b. On prend les deux cinquièmes de 450 : $\frac{2 \times 450}{5} = 180$
Soit 180 m². Contrôle : le jardin fait $\frac{3}{5} \times 450 = 270$ m², et $\frac{2}{3}$ de 270 valent bien 180.

Repérer l'erreur

Raisonner

a.« $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ »
b.« $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{15}$ »
c.« $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$ »

›Voir le corrigé

a. Faux. On n'additionne jamais les dénominateurs. Il faut un dénominateur commun : $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
Contrôle de bon sens : $\frac{1}{2}$ vaut déjà 0,5, la somme ne peut pas valoir $\frac{2}{5} = 0, 4$ .
b. Faux. Le dénominateur doit être $3 \times 5$ , soit 15 — ici le calcul est juste mais l'écriture cache une addition. Le résultat correct est $\frac{8}{15}$ .
c. Faux. On a multiplié au lieu d'inverser : $\frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3}{2}$

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Multiplier sans chercher de dénominateur commun2 ptsPerdu si : Réduire au même dénominateur pour une multiplication
Inverser la seconde fraction pour diviser2 ptsPerdu si : Inverser la première, ou multiplier tout droit
Trouver un dénominateur commun pour additionner2 ptsPerdu si : Additionner les dénominateurs entre eux
Simplifier avant de multiplier1 ptPerdu si : Se retrouver à réduire une fraction à trois chiffres
Rendre une fraction irréductible1 ptPerdu si : S'arrêter à $\frac{6}{15}$

La méthode

Simplifier avant de multiplier, jamais après

1
Décomposer chaque numérateur et chaque dénominateur en facteurs simples.
2
Barrer un facteur du haut avec un facteur identique du bas, d'où qu'il vienne.
La simplification traverse les deux fractions : un facteur du premier numérateur s'annule avec un facteur du second dénominateur.
3
Multiplier ce qui reste en haut, puis ce qui reste en bas.
4
Contrôler qu'aucun diviseur commun ne subsiste dans la fraction obtenue.

Se tester

Touches 1 à 4

Mathématiques5ème

Question 1

Pour une expérience, un astronaute mélange

\frac{1}{4}

de litre de solution A avec

\frac{1}{3}

de litre de solution B. Quel est le volume total du mélange en litres ?

Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.

Signaler une erreur

Se tester en conditions de contrôle

4 contrôles sur ce chapitre, chacun avec sa durée, son barème sur vingt et un corrigé qui explique chaque réponse. Trois niveaux — Essentiel, Standard, Approfondi — se complètent sans reposer une question : on commence par celui qui correspond, et la note dit lequel faire ensuite.

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Questions fréquentes

Fractions — Multiplication, division et calculs avancés : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au collège, en classe de 5ème. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Fractions — Multiplication, division et calculs avancés ?

Où télécharger la fiche PDF de Fractions — Multiplication, division et calculs avancés ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 6 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Fractions — Multiplication, division et calculs avancés est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Comment réviser Fractions — Multiplication, division et calculs avancés efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Fractions — Multiplication, division et calculs avancés ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

Cahier de vacances

Ce chapitre se révise aussi pendant les vacances, dans un livret à imprimer avec son corrigé.

vacances de la Toussaint

Cahier de vacances de la Toussaint — maths 5e

Séance 4 · livret et corrigé en PDF

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