Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Géométrie — Triangles, angles et droites

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Un seul nombre gouverne tout le chapitre : 180°. La somme des angles d'un triangle ne dépend ni de sa forme, ni de sa taille — c'est ce qui permet de calculer un angle qu'on n'a jamais mesuré, à partir des deux autres.

La somme des angles

Règle

Propriété

Exemple

Un triangle isocèle a un angle au sommet de 44°. Combien mesurent les deux autres ?

Résultat :

Définition — inégalité triangulaire :

Exemple

Peut-on construire un triangle de côtés 5 cm, 6 cm et 12 cm ?

Résultat :

Deux droites coupées par une sécante

14.

Règle

Piège

Appliquer l'égalité des alternes-internes sans vérifier que les droites sont parallèles.

chercher le codage sur la figure ou la phrase dans l'énoncé. Si le parallélisme n'est donné nulle part, c'est probablement ce qu'on demande de démontrer.

Ai-je vérifié que les trois angles de mon triangle totalisent bien 180° ?
Le triangle est-il isocèle ? Alors deux angles sont égaux, et cela suffit souvent.
Les droites sont-elles données parallèles, ou dois-je le démontrer ?
Ai-je cité la propriété utilisée avant de l'appliquer ?

Corrigé · à détacher

Géométrie — Triangles, angles et droites

1. Un angle plat vaut 180° : c’est de là que vient la propriété.
2. Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut 180°. Deux angles connus suffisent donc à trouver le troisième — et il n'existe aucun triangle qui échappe à cette règle.
3. $A + B + C = 180$
4. Trois cas particuliers en découlent directement. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux. Dans un triangle équilatéral, les trois angles valent 60°.
5. $90 + a + b = 180 ⟹ a + b = 90$
6. Les deux angles à la base sont égaux. Il reste à partager ce que 44° laisse :
7. On partage en deux parts égales :
8. 68° chacun
9. Un triangle n'existe que si le plus grand côté est plus court que la somme des deux autres. Sinon les deux petits côtés ne se rejoignent pas. C'est la première chose à vérifier avant toute construction — inutile de sortir le compas si la figure est impossible.
10. $A B < A C + C B$
11. On compare le plus grand côté à la somme des deux autres :
12. Or 11 est inférieur à 12 : les deux petits côtés, mis bout à bout, n'atteignent pas le troisième.
13. impossible — le triangle n'existe pas
14. Sans parallèles, aucune de ces égalités n’est vraie.
15. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont égaux, et les angles correspondants aussi. La réciproque est vraie : si deux alternes-internes sont égaux, les droites sont parallèles — c'est ainsi qu'on démontre un parallélisme.