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Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Nombres relatifs — Addition, soustraction, multiplication

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Jusqu'ici, soustraire un grand nombre d'un petit était impossible. Les relatifs lèvent cet interdit — et avec eux arrive une règle des signes qui déroute d'abord, puis devient automatique. Un seul principe la résume : deux signes identiques donnent un plus, deux signes différents donnent un moins.

Se repérer sur l'axe

plus on va vers la droite, plus le nombre est grand — sans exception0−5−3+4+6distance à zéro : 3distance à zéro : 4−5 < −3 < 0 < +4 < +6attention : −5 est plus PETIT que −3, même si 5 est plus grand que 3
1.

Définition — distance à zéro, ou valeur absolue :

Piège

Écrire parce que 5 est plus grand que 3.

penser en températures. °C est plus froid que °C, donc plus petit. Personne ne s'y trompe avec un thermomètre.

Additionner et soustraire

Règle

4

Règle

6

Exemple

Calculer .

  1. 7.
  2. 8.

Résultat :

Multiplier et diviser

une seule règle, valable pour la multiplication comme pour la division(+) × (+) = (+)(−) × (−) = (+)(+) × (−) = (−)(−) × (+) = (−)signes identiques → positifsignes différents → négatifavec plusieurs facteurs : on compte les signes « − »nombre pair de « − » → positif · nombre impair → négatif
10.

Un produit de plusieurs relatifs

  1. 11.
  2. 12.
  3. 13.

Piège

Confondre et .

regarder ce que la parenthèse enferme avant de calculer. Cette distinction se retrouvera à l'identique en 4ème et en 3ème.

La simplification d'expressions

Règle

15

Exemple

Simplifier puis calculer .

  1. 16.
  2. 17.

Résultat :

Les relatifs ne sont pas une abstraction : ils décrivent tout ce qui se compte de part et d'autre d'un zéro conventionnel. Une altitude au-dessus ou au-dessous du niveau de la mer, une température au-dessus ou au-dessous de zéro, un solde bancaire, un étage de parking. Sur un axe gradué, ce zéro n'est qu'une origine choisie.

  • Sur l'axe, le nombre le plus à droite est le plus grand — même s'il est négatif.
  • Ai-je transformé la soustraction en addition de l'opposé ?
  • Ai-je compté les signes moins avant de multiplier les distances ?
  • La parenthèse enferme-t-elle le signe, ou seulement le nombre ?

Corrigé · à détacher

Nombres relatifs — Addition, soustraction, multiplication

  1. 1. L’ordre se lit sur l’axe, jamais sur la distance à zéro.
  2. 2. C'est le nombre sans son signe — on l'appelle aussi la valeur absolue, et on la note . La valeur absolue de et celle de valent 7 dans les deux cas. Elle sert à comparer des écarts, jamais à comparer les nombres eux-mêmes : deux nombres opposés ont la même valeur absolue et ne sont pas égaux.
  3. 3. Mêmes signes : on ajoute les distances à zéro et on garde le signe commun. Signes différents : on soustrait la plus petite distance de la plus grande, et on garde le signe du plus éloigné de zéro.
  4. 4.
  5. 5. Soustraire, c'est ajouter l'opposé. C'est la seule règle à retenir : elle transforme toute soustraction en addition, et il n'y a plus qu'un cas à traiter au lieu de deux.
  6. 6.
  7. 7. On transforme la soustraction en addition de l'opposé. L'opposé de est :
  8. 8. Signes différents : on soustrait les distances à zéro, , et on garde le signe du plus éloigné, ici le :
  9. 9. +3
  10. 10. Compter les signes moins est plus sûr que de les traiter deux par deux.
  11. 11. Compter les signes moins. Nombre pair : le résultat est positif. Nombre impair : il est négatif.
  12. 12. Multiplier les distances à zéro, sans se soucier des signes.
  13. 13. Poser le signe trouvé à l'étape 1 devant le résultat de l'étape 2.
  14. 14. Deux signes qui se suivent se réduisent en un seul, selon la même règle que pour la multiplication : deux signes identiques donnent un plus, deux signes différents donnent un moins.
  15. 15.
  16. 16. On réduit chaque couple de signes :
  17. 17. Puis on calcule de gauche à droite :
  18. 18. 7