Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Proportionnalité — Coefficient, pourcentages et vitesse

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La proportionnalité est la notion la plus utilisée hors de l'école : recettes, remises, vitesses, échelles, taux de change. Toute la question tient en une phrase — si l'un double, l'autre double-t-il aussi ? Quand la réponse est non, aucune des règles de ce chapitre ne s'applique.

Reconnaître une situation proportionnelle

Définition — coefficient de proportionnalité :

Trouver une quatrième proportionnelle

Pourcentages

Règle

Piège

Croire qu'une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ramène au prix de départ.

toujours multiplier les coefficients : $1, 2 \times 0, 8 = 0, 96$ , soit une baisse nette de 4 %. Un pourcentage ne s'additionne jamais à un autre.

Exemple

Un article coûte 80 €. Il subit une remise de 25 %, puis une seconde de 10 %.

Résultat :

Règle

Définition — échelle :

Deux pièges d'échelle. Le premier : convertir avant de comparer — une échelle est un rapport sans unité, donc les deux longueurs doivent être exprimées dans la même. Le second : une échelle plus grande donne une carte plus détaillée mais couvrant moins de terrain ; $\frac{1}{25 000}$ est plus détaillée que $\frac{1}{100 000}$ .

Vitesse

Règle

Les unités doivent concorder avant tout calcul. Une durée de 1 h 30 vaut 1,5 h et non 1,30 h — le temps se compte en base 60, pas en base 10. Convertir avant de calculer, jamais après : c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle donne des résultats qui semblent plausibles.

Le coefficient est-il vraiment le même pour toutes les colonnes ?
Mes deux rapports gardent-ils les mêmes grandeurs en haut et en bas ?
Ai-je multiplié les coefficients plutôt qu'additionné les pourcentages ?
1 h 30 vaut 1,5 h : mes durées sont-elles converties en décimal ?

Corrigé · à détacher

Proportionnalité — Coefficient, pourcentages et vitesse

1. Le test se fait sur toutes les colonnes, jamais sur une seule.
2. Le nombre par lequel on multiplie chaque valeur de la première ligne pour obtenir celle de la seconde. Il est le même pour toutes les colonnes — c'est même la définition. Sur un graphique, la représentation est une droite passant par l'origine.
3. Vérifier d'abord que la situation est bien proportionnelle. Sans cela, tout le reste est faux.
4. Écrire l'égalité des deux rapports, en gardant les mêmes grandeurs en haut et en bas.
5. Faire le produit en croix, puis contrôler l'ordre de grandeur du résultat.
6. Prendre $t %$ d'un nombre, c'est le multiplier par $\frac{t}{100}$ . Augmenter de $t %$ revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; diminuer de $t %$ , par $1 - \frac{t}{100}$ .
7. $+ 20 % : \times 1, 2 - 30 % : \times 0, 7$
8. Première remise :
9. Seconde remise, appliquée aux 60 € :
10. La remise globale n'est donc pas de 35 % :
11. 54 €, soit une baisse de 32,5 %
12. Une réduction — remise, rabais, solde — et une augmentation se calculent en un seul produit, jamais en deux temps. Une réduction de 25 % laisse 75 % du prix : on multiplie par 0,75. Une augmentation de 8 % porte à 108 % : on multiplie par 1,08. Ces nombres s'appellent des coefficients multiplicateurs, et leur intérêt apparaît dès qu'on enchaîne deux évolutions : il suffit alors de multiplier les coefficients entre eux.
13. $r \overset{e}{ˊ} duction de t % : \times (1 - \frac{t}{100})$
14. Une échelle est un coefficient de proportionnalité entre le plan et la réalité. Une échelle de $\frac{1}{25 000}$ signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité, soit 250 m. Le calcul n'a rien de particulier : c'est une quatrième proportionnelle.
15. $\overset{e}{ˊ} chelle = \frac{longueur sur le plan}{longueur r e ˊ elle}$
16. La vitesse moyenne est le quotient de la distance par la durée. Les trois formules se déduisent l'une de l'autre : il n'y en a qu'une à retenir.
17. $v = \frac{d}{t} d = v \times t t = \frac{d}{v}$