Une situation est proportionnelle quand un même coefficient fait passer d'une grandeur à l'autre dans toutes les colonnes, sans une seule exception.
L'erreur que tout le monde fait
Croire qu'une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ramène au prix de départ.
Les deux pourcentages ne portent pas sur le même nombre. Un prix de 100 € devient 120 €, puis 120 × 0,8 = 96 € : la seconde remise s'applique à un montant plus élevé que le prix initial. Un pourcentage se rapporte toujours à la valeur de départ de l'évolution qu'il décrit, et deux évolutions n'ont pas la même valeur de départ.
Multiplier les coefficients au lieu d'additionner les taux : 1,2 × 0,8 = 0,96, soit une baisse nette de 4 %.
La proportionnalité est la notion la plus utilisée hors de l'école : recettes, remises, vitesses, échelles, taux de change. Toute la question tient en une phrase — si l'un double, l'autre double-t-il aussi ? Quand la réponse est non, aucune des règles de ce chapitre ne s'applique.
1Reconnaître une situation proportionnelle
Le test se fait sur toutes les colonnes, jamais sur une seule.
Définition
coefficient de proportionnalité — Le nombre par lequel on multiplie chaque valeur de la première ligne pour obtenir celle de la seconde. Il est le même pour toutes les colonnes — c'est même la définition. Sur un graphique, la représentation est une droite passant par l'origine.
Trouver une quatrième proportionnelle
Vérifier d'abord que la situation est bien proportionnelle. Sans cela, tout le reste est faux.
Écrire l'égalité des deux rapports, en gardant les mêmes grandeurs en haut et en bas.mélanger les grandeurs — des kilos face à des euros — est l'erreur qui produit des résultats absurdes.
Faire le produit en croix, puis contrôler l'ordre de grandeur du résultat.
2Pourcentages
Règle
Prendre t% d'un nombre, c'est le multiplier par 100t. Augmenter de t% revient à multiplier par 1+100t ; diminuer de t%, par 1−100t.
+20%:×1,2−30%:×0,7
Piège
Croire qu'une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ramène au prix de départ.
Pourquoi — les deux pourcentages ne portent pas sur le même nombre. Un prix de 100 € devient 120 €, puis 120×0,8=96 € : il manque 4 €. La seconde remise s'applique à un montant plus élevé.
Le réflexe — toujours multiplier les coefficients : 1,2×0,8=0,96, soit une baisse nette de 4 %. Un pourcentage ne s'additionne jamais à un autre.
Exemple
Un article coûte 80 €. Il subit une remise de 25 %, puis une seconde de 10 %.
Première remise :80×0,75=60
Seconde remise, appliquée aux 60 € :60×0,9=54
La remise globale n'est donc pas de 35 % :0,75×0,9=0,675
54 €, soit une baisse de 32,5 %
Règle
Une réduction — remise, rabais, solde — et une augmentation se calculent en un seul produit, jamais en deux temps. Une réduction de 25 % laisse 75 % du prix : on multiplie par 0,75. Une augmentation de 8 % porte à 108 % : on multiplie par 1,08. Ces nombres s'appellent des coefficients multiplicateurs, et leur intérêt apparaît dès qu'on enchaîne deux évolutions : il suffit alors de multiplier les coefficients entre eux.
reˊduction de t%:×(1−100t)
Définition
échelle — Une échelle est un coefficient de proportionnalité entre le plan et la réalité. Une échelle de 250001 signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité, soit 250 m. Le calcul n'a rien de particulier : c'est une quatrième proportionnelle.
eˊchelle=longueur reˊellelongueur sur le plan
Deux pièges d'échelle. Le premier : convertir avant de comparer — une échelle est un rapport sans unité, donc les deux longueurs doivent être exprimées dans la même. Le second : une échelle plus grande donne une carte plus détaillée mais couvrant moins de terrain ; 250001 est plus détaillée que 1000001.
3Vitesse
Règle
La vitesse moyenne est le quotient de la distance par la durée. Les trois formules se déduisent l'une de l'autre : il n'y en a qu'une à retenir.
v=tdd=v×tt=vd
Les unités doivent concorder avant tout calcul. Une durée de 1 h 30 vaut 1,5 h et non 1,30 h — le temps se compte en base 60, pas en base 10. Convertir avant de calculer, jamais après : c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle donne des résultats qui semblent plausibles.
▢Le coefficient est-il vraiment le même pour toutes les colonnes ?
▢Mes deux rapports gardent-ils les mêmes grandeurs en haut et en bas ?
▢Ai-je multiplié les coefficients plutôt qu'additionné les pourcentages ?
▢1 h 30 vaut 1,5 h : mes durées sont-elles converties en décimal ?
L'essentiel en 6 points
·Proportionnel = même coefficient sur toutes les colonnes, droite passant par l'origine.
·Dans une égalité de rapports, garder les mêmes grandeurs en haut et en bas.
·+t% : ×(1+100t). −t% : ×(1−100t).
·Deux pourcentages successifs se multiplient, ils ne s'additionnent pas.
·Un taux d'évolution se rapporte toujours à la valeur de départ.
·v=td, et 1 h 30 = 1,5 h : convertir avant de calculer.
2
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Fiche PDF — Proportionnalité — Coefficient, pourcentages et vitesse
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Trois documents à imprimer, 6 pages en tout : le cours, les exercices avec la place pour écrire, et le corrigé détaillé avec son barème.
a.Nombre de cahiers : 3 | 7 | 10 ; Prix en € : 4,50 | 10,50 | 15
b.Durée en h : 1 | 2 | 3 ; Prix d'un taxi en € : 25 | 45 | 65
c.Justifie chaque réponse par un calcul.
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a. On teste chaque colonne :4,5/3=1,5
Puis les deux autres :15/10=1,5
Le coefficient vaut 1,5 partout : la situation est proportionnelle.
b. Les quotients valent 25, puis 22,5, puis environ 21,7 : non proportionnelle. Il y a une prise en charge fixe, qui se dilue quand la course s'allonge.
Un seul quotient différent suffit à conclure : la vérification s'arrête dès qu'on en trouve un.
2
Quatrième proportionnelle
Calculer
a.5 kg de pommes coûtent 12 €. Combien coûtent 8 kg ?
b.12 stylos coûtent 18 €. Combien de stylos pour 24 € ?
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a. On écrit l'égalité des rapports, kilos sur euros des deux côtés :512×8=19,2
8 kg coûtent donc 19,20 €. Contrôle : c'est bien plus que 12 € et moins que le double.
b. Le coefficient vaut 18÷12=1,5 € par stylo :24/1,5=16
On obtient 16 stylos. Contrôle : 24 € font quatre tiers de 18 €, et 16 fait bien quatre tiers de 12.
3
Pourcentages
Calculer
a.Un manteau de 140 € est soldé à −30 %. Nouveau prix ?
b.Un loyer de 650 € augmente de 4 %. Nouveau montant ?
c.Un prix passe de 80 € à 92 €. Quel est le taux d'augmentation ?
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a. Une baisse de 30 % revient à multiplier par 0,7 :140×0,7=98
b. Une hausse de 4 % revient à multiplier par 1,04 :650×1,04=676
c. On calcule l'écart, puis on le rapporte au prix de départ :92−80=12
Puis :8012=0,15
L'augmentation est de 15 %. Diviser par 92 au lieu de 80 est l'erreur classique : le taux se rapporte toujours à la valeur initiale.
4
Deux pourcentages qui se suivent
Raisonner
a.Un prix de 200 € augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. Prix final ?
b.Pourquoi n'est-on pas revenu à 200 € ?
c.Quelle baisse aurait-il fallu pour revenir exactement à 200 € ?
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a. On multiplie les deux coefficients :200×1,1×0,9=198
Le prix final est de 198 €.
b. La hausse de 10 % porte sur 200 €, soit 20 € ; la baisse de 10 % porte sur 220 €, soit 22 €. Les deux pourcentages ne s'appliquent pas au même nombre.
c. Il fallait retirer 20 € à 220 €, soit une baisse de :22020≈0,0909
Environ 9,1 %. Un pourcentage ne s'annule jamais par un pourcentage égal en sens inverse.
5
Vitesse et conversions
Modéliser
a.Un cycliste parcourt 45 km en 1 h 30. Quelle est sa vitesse moyenne ?
b.À cette vitesse, combien de temps pour 78 km ?
c.Convertis 90 km/h en m/s.
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. On convertit d'abord la durée : 1 h 30 vaut 1,5 h, jamais 1,30.45/1,5=30
Sa vitesse moyenne est de 30 km/h.
b. On divise la distance par la vitesse :78/30=2,6
Soit 2,6 h. Il reste à reconvertir : 0,6 h fait 0,6×60=36 min, donc 2 h 36 min.
c. 90 km font 90 000 m, et une heure fait 3 600 s :90000/3600=25
6
Repérer l'erreur
Raisonner
a.« +15 % puis −15 %, donc le prix n'a pas changé. »
b.« 2 h 15 = 2,15 h »
c.« Le prix passe de 50 à 60 €, soit une hausse de 6010. »
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a. Faux. Les coefficients se multiplient :1,15×0,85=0,9775
Le prix a donc baissé d'environ 2,25 %.
b. Faux. 15 min font un quart d'heure : 2 h 15=2,25 h. Le temps se compte en base 60.
c. Faux. Le taux se rapporte au prix de départ :5010=0,2
Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte
Vérifier la proportionnalité sur toutes les colonnes2 ptsPerdu si : Conclure après une seule colonne
Multiplier les coefficients pour des pourcentages successifs3 ptsPerdu si : Additionner +15 % et −15 % pour conclure « sans changement »
Rapporter un taux d'évolution à la valeur initiale2 ptsPerdu si : Diviser par la valeur d'arrivée
Convertir les durées en décimal avant de calculer2 ptsPerdu si : Écrire 1 h 30 = 1,30 h
Contrôler l'ordre de grandeur du résultat1 ptPerdu si : Rendre un prix de 192 € pour 8 kg quand 5 kg coûtent 12 €
4
La méthode
Trouver une quatrième proportionnelle
1
Dresser un tableau à deux lignes, une grandeur par ligne.
2
Vérifier que le coefficient est bien le même pour toutes les colonnes déjà connues.
Si les colonnes connues donnent deux coefficients différents, la situation n'est pas proportionnelle et aucune règle du chapitre ne s'applique.
3
Multiplier la valeur connue de la colonne cherchée par ce coefficient.
4
Convertir les durées en écriture décimale avant tout calcul de vitesse.
1 h 30 vaut 1,5 h et non 1,30 h : le temps se compte en base 60.
5
Se tester
Touches 1 à 4
Mathématiques5ème
Question 1
Un joueur de basket parcourt 120 m en 15 s. Quelle est sa vitesse en m/s ?
Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.
4 contrôles sur ce chapitre, chacun avec sa durée, son barème sur vingt et un corrigé qui explique chaque réponse. Trois niveaux — Essentiel, Standard, Approfondi — se complètent sans reposer une question : on commence par celui qui correspond, et la note dit lequel faire ensuite.
Proportionnalité — Coefficient, pourcentages et vitesse : c'est en quelle classe ?+
Ce chapitre est au programme de Mathématiques au collège, en classe de 5ème. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.
Que faut-il savoir sur Proportionnalité — Coefficient, pourcentages et vitesse ?+
Situations proportionnelles : tableaux, graphiques. Quatrième proportionnelle. Pourcentages : taux d'évolution, augmentation et réduction. Vitesse = distance / durée. Conversions d'unités de vitesse. Les notions à maîtriser sont : coefficient, taux, augmentation, réduction, vitesse, 4e proportionnelle.
Où télécharger la fiche PDF de Proportionnalité — Coefficient, pourcentages et vitesse ?+
Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 6 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.
Le corrigé de Proportionnalité — Coefficient, pourcentages et vitesse est-il fourni ?+
Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.
Comment réviser Proportionnalité — Coefficient, pourcentages et vitesse efficacement ?+
Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.
Faut-il un compte pour s'entraîner sur Proportionnalité — Coefficient, pourcentages et vitesse ?+
Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.
Cahier de vacances
Ce chapitre se révise aussi pendant les vacances, dans un livret à imprimer avec son corrigé.