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Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Statistiques et initiation aux probabilités

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Deux chapitres en un, et une même question : que peut-on dire d'un ensemble de nombres ? Les statistiques décrivent ce qui a été observé, les probabilités anticipent ce qui pourrait l'être. Les premières regardent en arrière, les secondes en avant.

Décrire une série

Définition — moyenne et médiane :

2
la médiane est une position dans la série rangée, pas un calculeffectif impair — 7 valeurs356891215la 4ᵉ valeur : médiane = 8effectif pair — 6 valeurs4710141621demi-somme des deux du milieu : (10+14)/2 = 12et toujours : ranger la série AVANT de chercher quoi que ce soitla médiane n’est pas forcément une valeur de la série — ici 12 n’y figure pas
3.

Piège

Chercher la médiane sans avoir rangé la série.

réécrire la série rangée en entier sur la copie. Deux minutes qui sécurisent toutes les questions suivantes.

L'étendue — la différence entre la plus grande et la plus petite valeur — complète ces deux indicateurs. Deux séries de même moyenne peuvent avoir des étendues très différentes, et c'est cette différence qui distingue une classe homogène d'une classe éclatée.

Définition — fréquence :

5

Lire un tableau d'effectifs

  1. 6.
  2. 7.
  3. 8.

Exemple

Notes : 8 (×3 élèves), 12 (×5), 15 (×4). Moyenne et médiane ?

  1. 9.
  2. 10.
  3. 11.

Résultat :

Exemple

Dans une classe de 25 élèves, 10 viennent en bus, 6 à vélo, 7 à pied et 2 en voiture. Quelles sont les fréquences ?

  1. 13.
  2. 14.
  3. 15.
  4. 16.
  5. 17.

Résultat :

Piège

Comparer deux groupes en comparant leurs effectifs.

dès que les deux totaux diffèrent, passer aux fréquences : 10 sur 25 fait 40 %, 12 sur 40 fait 30 % — et le classement s'inverse.

Le vocabulaire des probabilités

Définition — expérience aléatoire, issue, événement :

Règle

21
toute probabilité vit entre 0 et 1 — un résultat hors bornes est une erreur01/61/21impossibleun 6 au dépile ou facecertainla somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours 1
22.

Règle

24

Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité

  1. 25.
  2. 26.
  3. 27.
  4. 28.

Piège

Annoncer une probabilité de 1,5 ou de .

vérifier que le numérateur ne dépasse jamais le dénominateur. Il ne peut pas y avoir plus de cas favorables que de cas possibles.

Un dernier outil, qu'on rencontrera en 4e et en 3e : le diagramme en boîte et à moustaches. La boîte y contient la moitié centrale des valeurs, un trait marque la médiane, et les moustaches vont jusqu'aux extrêmes. On peut déjà en lire l'idée : ce diagramme ne montre pas les valeurs, il montre comment elles se répartissent — et deux boîtes côte à côte comparent deux séries sans un seul calcul.

  • Ai-je rangé la série avant de chercher la médiane ?
  • Pour comparer deux groupes de tailles différentes, suis-je passé aux fréquences ?
  • Chaque probabilité annoncée est-elle comprise entre 0 et 1 ?
  • La somme des probabilités de toutes les issues vaut-elle bien 1 ?

Corrigé · à détacher

Statistiques et initiation aux probabilités

  1. 1. La moyenne est la somme des valeurs divisée par leur nombre : c'est le point d'équilibre. La médiane est la valeur qui partage la série rangée en deux moitiés. Les deux répondent à « quelle est la valeur typique ? » — et donnent parfois des réponses très différentes.
  2. 2.
  3. 3. Effectif impair : la valeur du milieu. Effectif pair : la demi-somme des deux.
  4. 4. La fréquence d'une valeur est son effectif rapporté à l'effectif total. C'est ce qui permet de comparer deux groupes de tailles différentes : 12 réussites sur 20 et 21 sur 35 donnent la même fréquence, 0,6 — soit 60 % — alors que les effectifs, eux, ne se ressemblent pas.
  5. 5.
  6. 6. Repérer l'effectif total : c'est la somme de la ligne des effectifs, jamais le nombre de colonnes.
  7. 7. Pour la moyenne, multiplier chaque valeur par son effectif avant d'additionner.
  8. 8. Pour la médiane, cumuler les effectifs jusqu'à dépasser la moitié du total : la valeur atteinte à ce moment est la médiane.
  9. 9. L'effectif total vaut 12. La moyenne est pondérée :
  10. 10. Soit :
  11. 11. Pour la médiane, on cumule : 3 élèves à 8, puis 8 élèves cumulés à 12. La 6ᵉ et la 7ᵉ note valent donc 12.
  12. 12. moyenne 12 et médiane 12
  13. 13. Le bus.
  14. 14. Le vélo.
  15. 15. La marche, puis la voiture.
  16. 16. Et le dernier mode.
  17. 17. Contrôle indispensable : la somme des fréquences.
  18. 18. 40 %, 24 %, 28 % et 8 % — et 40 + 24 + 28 + 8 = 100
  19. 19. Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles et on ne sait pas lequel sortira : lancer un dé, tirer une carte. Chaque résultat possible est une issue. Un événement regroupe une ou plusieurs issues : « obtenir un nombre pair » réunit trois issues sur six.
  20. 20. Quand toutes les issues ont la même chance de se produire — on dit qu'il y a équiprobabilité — la probabilité d'un événement se compte.
  21. 21.
  22. 22. Une probabilité se lit comme une position sur cette échelle.
  23. 23. La probabilité de l'événement contraire complète à 1. C'est souvent le chemin le plus court : « au moins un » se calcule presque toujours par « aucun ».
  24. 24.
  25. 25. Décrire l'expérience et lister toutes les issues possibles. Un dé à six faces : six issues ; une pièce : deux.
  26. 26. Vérifier l'équiprobabilité — dé équilibré, pièce non truquée, boules indiscernables au toucher. Sans elle, la formule ne s'applique pas.
  27. 27. Compter les issues favorables à l'événement, puis diviser par le nombre total d'issues.
  28. 28. Contrôler : le résultat est entre 0 et 1. Et si l'événement contraire est plus simple à compter, on calcule celui-là puis on complète à 1.