Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Volumes — Pavés, prismes et cylindres

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Trois solides, une seule idée : aire de la base × hauteur. Le pavé, le prisme et le cylindre obéissent à la même formule — seule la façon de calculer l'aire de la base change. Retenir trois formules séparées est une perte de temps.

Une formule, trois solides

Règle

Propriété

Exemple

Un cylindre a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm. Calculer son volume.

Résultat :

Piège

Utiliser le diamètre à la place du rayon dans $π r^{2}$ .

souligner le mot diamètre dans l'énoncé et écrire la division par 2 sur une ligne à part, avant de commencer le calcul.

Définition — aire latérale et aire totale :

Exemple

Combien de peinture pour un réservoir cylindrique ouvert de rayon 2 m et de hauteur 3 m, fond compris ?

Résultat :

Les unités de volume

16.

L'égalité 1 dm³ = 1 L est la passerelle entre volumes et capacités : elle transforme un calcul de géométrie en réponse utilisable — combien de litres tient ce réservoir. Elle donne aussi 1 cm³ = 1 mL, qui sert bien plus souvent en pratique.

L'énoncé donne-t-il le rayon ou le diamètre ?
Ma hauteur est-elle bien perpendiculaire à la base ?
Toutes mes longueurs sont-elles dans la même unité avant le calcul ?
Ai-je changé d'unité de volume par 1 000, et non par 10 ?
L'ordre de grandeur du résultat est-il plausible ?

Corrigé · à détacher

Volumes — Pavés, prismes et cylindres

1. Le même geste dans les trois cas : on empile la base sur toute la hauteur.
2. Le volume d'un solide droit est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur. La hauteur se mesure perpendiculairement à la base, jamais le long d'une arête oblique.
3. $V = A_{base} \times h$
4. Les trois cas particuliers ne sont que cette formule appliquée à trois bases différentes.
5. $V_{cube} = c^{3} V_{pav \overset{e}{ˊ}} = L \times ℓ \times h V_{cylindre} = π \times r^{2} \times h$
6. L'aire de la base est celle d'un disque :
7. On multiplie par la hauteur :
8. La valeur exacte est donc $160 π$ cm³, et la valeur approchée :
9. 160π cm³, soit environ 502 cm³
10. L'aire latérale d'un solide droit est celle de sa surface « déroulée » : pour un cylindre, un rectangle de longueur $2 π r$ — le périmètre du disque — et de hauteur $h$ . L'aire totale y ajoute les deux bases. Volume et aire répondent à deux questions différentes : ce que le solide contient, et ce qu'il faut de matière pour l'envelopper.
11. $A_{lat} = 2 π r h A_{tot} = 2 π r h + 2 π r^{2}$
12. La surface latérale déroulée est un rectangle :
13. Le fond est un disque :
14. Le réservoir étant ouvert, on n'ajoute pas la seconde base :
15. environ 50,3 m² à peindre
16. Un volume a trois dimensions : le facteur est 10³, jamais 10.