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Fiche à trous · 6ème · Mathématiques

Calcul : priorités, parenthèses et ordre des opérations

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ne vaut pas 20. Il vaut 14 — et cette différence n'est pas une subtilité : c'est une convention universelle sans laquelle deux personnes calculant la même chose n'obtiendraient jamais le même résultat. Toutes les calculatrices du monde l'appliquent.

L'ordre des opérations

on descend les trois marches dans l’ordre, sans jamais en sauter une1les parenthèses — on commence toujours par l’intérieur2la multiplication et la division — de gauche à droite3l’addition et la soustraction — de gauche à droiteà l’intérieur d’un même niveau, on lit de gauche à droite : 12 − 5 + 3 vaut 10, pas 4
1.

Règle

3

Exemple

Calculer .

  1. 4.
  2. 5.
  3. 6.
  4. 7.

Résultat :

Piège

Calculer en commençant par l'addition.

souligner les opérations de même niveau et les traiter dans l'ordre où elles sont écrites, comme on lit une phrase.

Multiplier et diviser des décimaux

Multiplier deux décimaux

  1. 9.
  2. 10.
  3. 11.

Exemple

Calculer .

  1. 12.
  2. 13.
  3. 14.

Résultat :

Une estimation faite avant le calcul protège de tout : vaut à peu près . Un résultat de 85 ou de 0,85 se voit alors immédiatement. Trente secondes d'estimation valent mieux qu'un calcul refait deux fois.

Arrondir

Règle

Piège

Arrondir en plusieurs fois : .

arrondir en une seule fois, depuis le nombre de départ, en regardant le seul chiffre qui suit le rang demandé.

Les problèmes en contexte

Du texte au calcul, en une seule expression

  1. 17.
  2. 18.
  3. 19.
  4. 20.

Exemple

Léa achète 3 cahiers à 2,40 € et 2 stylos à 1,15 €. Elle paie avec un billet de 20 €. Combien lui rend-on ?

  1. 21.
  2. 22.
  3. 23.
  4. 24.
  5. 25.

Résultat :

Exemple

Un car part à 8 h 45 et arrive à 11 h 20. Il a parcouru 195 km. Quelle a été sa vitesse moyenne, en km/h ?

  1. 27.
  2. 28.
  3. 29.

Résultat :

Piège

Soustraire deux horaires comme deux nombres décimaux : .

compter en deux temps — d'abord jusqu'à l'heure ronde suivante (8 h 45 → 9 h, soit 15 min), puis de là jusqu'à l'arrivée (9 h → 11 h 20, soit 2 h 20). Total : 2 h 35 min.

Exemple

Un collège emmène 130 élèves en sortie. Chaque car transporte 52 passagers. Combien de cars faut-il réserver ?

  1. 31.
  2. 32.
  3. 33.

Résultat :

  • Ai-je commencé par l'intérieur des parenthèses ?
  • À priorité égale, ai-je lu de gauche à droite ?
  • Ai-je compté les chiffres après la virgule des deux facteurs ?
  • Mon résultat est-il proche de mon estimation ?
  • Ai-je arrondi en une seule fois, depuis le nombre de départ ?
  • Ma réponse est-elle une phrase, avec l'unité attendue par la question ?

Corrigé · à détacher

Calcul : priorités, parenthèses et ordre des opérations

  1. 1. Trois niveaux, et à l’intérieur de chacun, le sens de la lecture.
  2. 2. On calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. À priorité égale, on va de gauche à droite.
  3. 3.
  4. 4. D'abord la parenthèse :
  5. 5. Puis la multiplication et la division, dans le même niveau :
  6. 6. Et :
  7. 7. Enfin la soustraction :
  8. 8. 32
  9. 9. Poser et calculer comme s'il n'y avait aucune virgule.
  10. 10. Compter le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
  11. 11. Placer la virgule dans le résultat en comptant ce même nombre de chiffres depuis la droite.
  12. 12. On calcule sans les virgules :
  13. 13. Il y a un chiffre après la virgule dans chaque facteur, soit deux au total.
  14. 14. On place donc la virgule deux rangs depuis la droite :
  15. 15. 8,5
  16. 16. Pour arrondir, on regarde le chiffre juste après le rang demandé. S'il vaut 5 ou plus, on augmente d'une unité le chiffre du rang ; sinon, on le laisse. Les chiffres suivants disparaissent.
  17. 17. Repérer la question avant de lire les nombres. Un prix ? une distance ? une durée ? La réponse attendue donne l'unité, et l'unité guide le calcul.
  18. 18. Écrire une seule expression avec les parenthèses nécessaires, plutôt qu'une suite de calculs séparés.
  19. 19. Estimer avant de calculer, puis comparer. Un écart important signale une erreur de priorité ou de virgule.
  20. 20. Conclure par une phrase, avec l'unité. Un nombre seul ne répond à aucune question.
  21. 21. Une seule expression, avec les parenthèses qui disent l'ordre.
  22. 22. Les produits d'abord — c'est la règle de priorité.
  23. 23. Puis le second.
  24. 24. La somme entre parenthèses, enfin la soustraction.
  25. 25. Estimation de contrôle : 3 × 2,40 vaut à peu près 7 €, 2 × 1,15 environ 2 € — soit 9 € dépensés, 11 € rendus. L'ordre de grandeur est bon.
  26. 26. on lui rend 10,50 €
  27. 27. La durée d'abord. De 8 h 45 à 11 h 20, il y a 2 h et 35 min — on ne soustrait pas 11,20 − 8,45, car les minutes ne sont pas des centièmes d'heure.
  28. 28. On convertit en heures pour pouvoir diviser.
  29. 29. La vitesse est une distance divisée par une durée.
  30. 30. la vitesse moyenne est d'environ 76 km/h
  31. 31. C'est une division, mais dont le résultat doit être un nombre entier de cars : on pose la division euclidienne.
  32. 32. Deux cars pleins, et 26 élèves qui restent. Ces 26-là ne peuvent pas rester sur le trottoir : il faut un troisième car.
  33. 33. Le contexte décide de l'arrondi. Pour des cars on arrondit au-dessus ; pour un nombre de lots complets à distribuer, on arrondirait en dessous.
  34. 34. il faut réserver 3 cars