Fiche à trous · 6ème · Mathématiques

Géométrie plane : figures et construction

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En géométrie, une figure qui a l'air juste ne prouve rien. Un dessin à main levée peut montrer deux droites qui semblent parallèles sans qu'elles le soient, ou un angle qui semble droit à un degré près. C'est pourquoi tout se code : un petit carré pour l'angle droit, un chevron pour le parallélisme, un trait pour l'égalité de longueurs. Ce chapitre apprend à lire ces marques — et à les poser.

Le vocabulaire de base

Définition — point, droite, segment, demi-droite :

Piège

Écrire « la droite $[A B]$ mesure 5 cm ».

une longueur ne se mesure que sur un segment, et s'écrit sans crochets : $A B = 5$ cm.

Parallèles et perpendiculaires

Définition — droites parallèles et perpendiculaires :

Tracer une perpendiculaire, puis une parallèle

Piège

Conclure que deux droites sont parallèles parce qu'elles ne se coupent pas sur la feuille.

chercher une raison : un codage, un rectangle, ou deux perpendiculaires à une même droite. Jamais l'apparence.

Les triangles

Règle

Construire un triangle dont on connaît les trois côtés

Piège

Chercher à construire un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 8 cm.

avant de construire, vérifier que la somme des deux plus petits dépasse le plus grand. C'est l'inégalité triangulaire, et elle s'énonce en une addition.

Le cercle

Définition — centre, rayon, diamètre, corde :

16.

Les quadrilatères particuliers

Propriété

18.

Cet emboîtement a une conséquence pratique constante : tout ce qui est vrai d'un parallélogramme est vrai d'un carré. Si l'on sait que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, on le sait aussi du rectangle, du losange et du carré — sans rien réapprendre. Retenir la famille coûte moins cher que retenir quatre listes.

La symétrie axiale

Définition — symétrie axiale :

20.

Propriété

Piège

Tracer le symétrique en reportant la distance à l'axe le long d'une ligne oblique.

toujours partir du point vers l'axe à l'équerre, marquer le pied de la perpendiculaire, puis reporter la même longueur au-delà.

Ai-je codé ma figure : angles droits, longueurs égales, parallélismes ?
Une longueur ne se note que sur un segment : $A B$ , sans crochets.
Avant de construire un triangle : la somme des deux plus petits côtés dépasse-t-elle le plus grand ?
Rayon ou diamètre ? Le diamètre passe par le centre et vaut deux rayons.
Pour un symétrique : perpendiculaire à l'axe, et même distance de part et d'autre.
Ai-je justifié par une propriété, et non par ce que le dessin donne à voir ?

Corrigé · à détacher

Géométrie plane : figures et construction

1. Un point se note par une lettre majuscule : $A$ . Une droite passant par $A$ et $B$ est illimitée des deux côtés et se note $(A B)$ . Un segment s'arrête à ses deux extrémités : $[A B]$ , et sa longueur s'écrit $A B$ , sans crochets. Une demi-droite a une origine et pas de fin : $[A B)$ part de $A$ et passe par $B$ . Les crochets et parenthèses ne sont pas décoratifs : ils disent où la ligne s'arrête.
2. Trois objets, trois notations — et une seule différence : où ça s'arrête.
3. Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit ; on note $(d_{1}) ⊥ (d_{2})$ . Elles sont parallèles quand elles ne se coupent jamais, quelle que soit la distance sur laquelle on les prolonge ; on note $(d_{1}) ∥ (d_{2})$ . Sur une figure, l'angle droit se code par un petit carré, le parallélisme par un même chevron sur chacune des deux droites.
4. Le codage remplace la mesure : ce qui est codé est vrai.
5. La perpendiculaire : poser un côté de l'équerre le long de la droite, faire glisser jusqu'à ce que le sommet de l'angle droit atteigne le point, puis tracer le long de l'autre côté.
6. La parallèle : tracer d'abord une perpendiculaire à la droite, puis une perpendiculaire à celle-là passant par le point.
7. Coder la figure dès qu'elle est tracée. Un tracé sans codage laisse le lecteur deviner ; en contrôle, il ne devine pas.
8. Un triangle se classe de deux façons, et les deux peuvent se cumuler. Par ses côtés : équilatéral (trois côtés égaux), isocèle (deux côtés égaux), quelconque. Par ses angles : rectangle (un angle droit), quelconque. Un triangle peut donc être à la fois isocèle et rectangle — et l'équilatéral est un cas particulier d'isocèle, jamais l'inverse.
9. Les marques sur les côtés disent lesquels sont égaux.
10. Tracer le plus grand côté à la règle : ce sera la base. Nommer ses extrémités.
11. Ouvrir le compas à la longueur du deuxième côté, pointer sur une extrémité, tracer un arc.
12. Recommencer avec le troisième côté depuis l'autre extrémité. Les deux arcs se coupent au troisième sommet.
13. Repasser les trois côtés à la règle, et coder les longueurs égales s'il y en a.
14. Un cercle de centre $O$ est l'ensemble des points situés à la même distance de $O$ : cette distance est le rayon. Un diamètre est un segment qui joint deux points du cercle en passant par le centre ; il vaut donc deux rayons. Une corde joint deux points du cercle sans passer forcément par le centre — le diamètre est la plus longue de toutes les cordes.
15. $d = 2 \times r$
16. Un seul centre, une infinité de rayons — tous de même longueur.
17. Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux. Le rectangle est un parallélogramme qui possède en plus quatre angles droits. Le losange est un parallélogramme dont les quatre côtés sont égaux. Le carré possède les deux propriétés à la fois : il est donc rectangle et losange. Chaque figure hérite de toutes les propriétés de celles qui la précèdent.
18. Une famille, et chacun ajoute une condition.
19. Le symétrique d'un point $A$ par rapport à une droite $(d)$ est le point $A^{'}$ tel que $(d)$ coupe le segment $[A A^{'}]$ en son milieu et perpendiculairement. La droite $(d)$ s'appelle l'axe de symétrie. Si $A$ appartient déjà à l'axe, il est son propre symétrique.
20. Deux conditions : le milieu, et l'angle droit.
21. La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement. Une figure et sa symétrique sont donc superposables — en retournant la feuille. Ce qu'elle ne conserve pas, c'est le sens de parcours : ce qui tournait dans un sens tourne dans l'autre, et c'est exactement ce que fait un miroir.