Fiche à trous · 6ème · Mathématiques

Nombres entiers, décimaux et fractions

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Une fraction n'est pas deux nombres empilés : c'est une seule quantité, et souvent la plus exacte dont on dispose. $\frac{1}{3}$ ne s'écrit pas en décimal sans arrondir — 0,333… ne s'arrête jamais. La fraction dit exactement ce que le décimal ne peut qu'approcher.

Lecture, écriture et comparaison des décimaux

Définition — écriture décimale :

Piège

Écrire $2, 5 < 2, 13$ parce que 13 est plus grand que 5.

compléter avec des zéros pour que les deux nombres aient autant de chiffres après la virgule, puis comparer rang par rang.

Comprendre une fraction

Définition — fraction :

Règle

La simplification d'une fraction

L'encadrement d'une fraction entre deux entiers

Piège

Simplifier $\frac{15}{20}$ en ne divisant que le numérateur : $\frac{3}{20}$ .

écrire la division sur les deux lignes en même temps, et contrôler avec la valeur décimale quand elle est simple.

Certaines fractions s'écrivent aussi en décimal, d'autres non. $\frac{3}{4} = 0, 75$ et $\frac{7}{2} = 3, 5$ tombent juste ; $\frac{1}{3} = 0, 333 \dots$ ne s'arrête jamais. La règle est simple : une fraction admet une écriture décimale exacte lorsque son dénominateur, une fois la fraction simplifiée, ne contient que des facteurs 2 et 5 — les diviseurs de 10. Dans les autres cas, la valeur décimale est approchée, et il vaut mieux garder la fraction.

Prendre une fraction d'une quantité

Exemple

Combien font les trois cinquièmes de 45 € ?

Résultat :

Addition et soustraction de fractions

Règle

Exemple

Calculer $\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$ .

Résultat :

Piège

Écrire $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ .

avant tout, réduire au même dénominateur — puis n'additionner que les numérateurs.

Pour comparer des décimaux, ai-je complété avec des zéros ?
Fraction d'une quantité : diviser par le dénominateur, multiplier par le numérateur.
Même dénominateur avant toute addition — et il ne s'additionne pas.
Mon résultat est-il plausible par rapport à la quantité de départ ?

Corrigé · à détacher

Nombres entiers, décimaux et fractions

1. Un nombre décimal s'écrit avec une partie entière, une virgule, et une partie décimale dont chaque rang porte un nom : dixièmes, centièmes, millièmes. Dans 3,406 : 3 unités, 4 dixièmes, 0 centième, 6 millièmes. On le lit « trois unités et quatre cent six millièmes » — jamais « trois virgule quatre cent six », qui ne dit rien du rang. Les entiers sont eux aussi des décimaux : leur partie décimale est simplement nulle.
2. La partie décimale se lit d’un bloc, pas chiffre par chiffre.
3. $\frac{a}{b}$ se lit « $a$ parts sur $b$ » : le dénominateur dit en combien de parts égales on a partagé l'unité, le numérateur combien on en prend. Une fraction est aussi une division : $\frac{3}{4}$ est le résultat de $3 \div 4$ , soit 0,75.
4. Multiplier ou diviser les deux termes par le même nombre ne change pas la fraction.
5. On peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre sans changer la valeur de la fraction. C'est ce qui permet de simplifier — $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ en divisant par 6 — et de réduire au même dénominateur.
6. $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$
7. Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur : 2 si les deux sont pairs, 5 s'ils finissent par 0 ou 5, 3 si la somme de leurs chiffres est dans la table de 3.
8. Diviser les deux par ce nombre, et recommencer tant qu'un diviseur commun existe.
9. S'arrêter quand plus aucun diviseur commun n'existe : la fraction est alors irréductible. C'est sous cette forme qu'on donne un résultat.
10. Diviser le numérateur par le dénominateur, en s'arrêtant au quotient entier. Pour $\frac{17}{5}$ : 5 × 3 = 15 et 5 × 4 = 20.
11. Encadrer : le quotient entier est la borne inférieure, le suivant la borne supérieure.
12. Contrôler l'ordre de grandeur : $\frac{17}{5} = 3, 4$ , bien situé entre 3 et 4.
13. Diviser la quantité par le dénominateur : on obtient la valeur d'une part.
14. Multiplier par le numérateur : on obtient la valeur du nombre de parts voulu.
15. Contrôler : le résultat doit être inférieur à la quantité de départ si la fraction est inférieure à 1.
16. Une part vaut :
17. Trois parts valent :
18. 27 €
19. On n'additionne que des parts de même taille : il faut donc le même dénominateur. On additionne alors les numérateurs et on garde le dénominateur — celui-ci indique la taille des parts, il ne s'additionne jamais.
20. $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$
21. La soustraction suit exactement la règle de l'addition : il faut d'abord des parts de même taille. Ici 3 divise 6, donc 6 est le dénominateur commun.
22. On transforme la seconde fraction.
23. On soustrait les numérateurs, et le dénominateur ne bouge pas.
24. On simplifie le résultat.
25. $\frac{1}{2}$