Fiche à trous · 6ème · Mathématiques

Proportionnalité et échelle

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Deux grandeurs sont proportionnelles quand si l'une double, l'autre double aussi. Trois pains coûtent trois fois le prix d'un pain — mais un enfant de six ans ne mesure pas trois fois un enfant de deux ans. Savoir distinguer les deux cas est le seul vrai enjeu du chapitre.

Reconnaître la proportionnalité

Définition — coefficient de proportionnalité :

Règle

Piège

Conclure à la proportionnalité parce que les points sont alignés.

vérifier la valeur pour zéro : si elle n'est pas nulle, il n'y a pas proportionnalité, quel que soit l'alignement.

La règle de trois

Trouver une valeur manquante

Exemple

5 cahiers coûtent 7,50 €. Combien coûtent 8 cahiers ?

Résultat :

Les échelles

Définition — échelle :

13.

Piège

Croire qu'une échelle de $\frac{1}{100}$ donne un plan plus grand qu'une échelle de $\frac{1}{25}$ .

traduire l'échelle en phrase : « 1 cm représente… ». Le nombre obtenu dit tout.

La proportionnalité sert aussi aux conversions : passer des mètres aux centimètres, des heures aux minutes, des euros aux centimes. Chaque table de conversion est un tableau de proportionnalité dont le coefficient est 10, 60 ou 100.

Un pourcentage est une proportionnalité déguisée : « 15 % » signifie « 15 pour 100 », donc un coefficient de $\frac{15}{100} = 0, 15$ . Prendre 15 % d'une quantité, c'est la multiplier par 0,15 — et la règle de trois s'applique telle quelle.

Le coefficient est-il le même pour toutes les colonnes ?
Ai-je vérifié la proportionnalité avant d'appliquer la règle de trois ?
Pour une échelle : les deux longueurs sont-elles dans la même unité ?
Plus je demande, plus je dois trouver — mon résultat est-il cohérent ?

Corrigé · à détacher

Proportionnalité et échelle

1. Le test se fait sur toutes les colonnes — une seule ne prouve rien.
2. Le nombre par lequel on multiplie chaque valeur de la première ligne pour obtenir celle de la seconde. Il est le même pour toutes les colonnes : c'est la définition même de la proportionnalité, et le seul test à connaître.
3. La reconnaissance d'une situation de proportionnalité se fait de deux façons, et il faut savoir les deux. Sur un tableau : on divise chaque valeur de la seconde ligne par celle de la première, et l'on vérifie qu'on trouve toujours le même nombre — le coefficient. Sur un graphique : les points sont proportionnels si et seulement s'ils sont alignés et si la droite passe par l'origine. Les deux conditions comptent : des points alignés sur une droite qui ne part pas de zéro ne sont pas proportionnels.
4. Alignés et passant par l'origine : les deux conditions, pas une seule.
5. Vérifier que la situation est bien proportionnelle. Sans cela, tout le reste est faux.
6. Passer par l'unité : diviser pour connaître la valeur de 1, puis multiplier.
7. Contrôler l'ordre de grandeur : si on demande plus, on doit trouver plus.
8. Un cahier coûte :
9. Huit cahiers coûtent :
10. Contrôle : 8 est plus que 5, et 12 € est plus que 7,50 €. Cohérent.
11. 12 €
12. Une échelle est un coefficient de proportionnalité entre le plan et la réalité. Une échelle de $\frac{1}{200}$ signifie que 1 cm sur le plan représente 200 cm en vrai, soit 2 m. Une échelle n'a pas d'unité : les deux longueurs doivent donc être exprimées dans la même.
13. Du plan vers le réel on multiplie, du réel vers le plan on divise.