Fiche à trous · Terminale · Mathématiques

Dérivation avancée — composées, optimisation et convexité

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Presque aucune fonction du programme de terminale n'est une dérivée usuelle telle quelle : elles sont emboîtées. $e^{- x^{2}}$ , $ln (3 x + 1)$ , $x^{2} + 1$ — dans chacune, une fonction est glissée à l'intérieur d'une autre, et une seule règle permet de les dériver toutes. Ce chapitre en tire deux applications qui vont plus loin que le calcul : l'optimisation, qui cherche le meilleur choix possible, et la convexité, qui décrit non plus le sens de variation mais la façon dont il change.

Dériver une composée

Règle

Dériver une fonction emboîtée

Exemple

Dériver $f (x) = e^{- x^{2}}$ puis $g (x) = ln (3 x + 1)$ sur $] - \frac{1}{3}; + \infty [$ .

Résultat :

Piège

Dériver $e^{3 x}$ en $e^{3 x}$ , ou $ln (5 x)$ en $\frac{1}{5 x}$ .

écrire $u$ et $u^{'}$ sur une ligne séparée avant d'appliquer la formule. Tant que ces deux lignes ne sont pas posées, ne rien dériver.

Optimisation

Définition — extremum local et global :

Résoudre un problème d'optimisation

Exemple

On dispose de 100 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur — le mur remplace un côté. Quelles dimensions donnent l'aire maximale ?

Résultat :

Convexité

Définition — convexité :

Règle

28.

La convexité n'est pas une curiosité d'analyse : c'est la forme mathématique de l'expression « la hausse ralentit ». Une épidémie dont les cas cumulés cessent d'être convexes pour devenir concaves a franchi son pic de contagion, alors même que le nombre total continue d'augmenter. Le point d'inflexion est ce moment de bascule — la croissance continue, mais elle a commencé à ralentir. C'est aussi pourquoi les copies confondent inflexion et maximum : l'un annule $f^{''}$ , l'autre $f^{'}$ , et ils n'ont pas lieu au même endroit.

Ai-je posé $u$ et $u^{'}$ avant d'appliquer une formule de composée ?
Le facteur $u^{'}$ figure-t-il bien dans ma dérivée ?
Pour une optimisation : ai-je nommé la variable et donné son intervalle ?
Ai-je comparé aux valeurs des bornes sur un intervalle fermé ?
Convexité : ai-je bien utilisé $f^{''}$ , et non $f^{'}$ ?
Pour une inflexion : ai-je vérifié le changement de signe de $f^{''}$ ?

Corrigé · à détacher

Dérivation avancée — composées, optimisation et convexité

1. La dérivée d'une composée $u \circ v$ — c'est-à-dire de $x \mapsto u (v (x))$ — vaut $v^{'} (x) \times u^{'} (v (x))$ : on dérive la fonction extérieure en laissant l'intérieur intact, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Toutes les formules du tableau ci-dessous n'en sont que des cas particuliers, et le facteur $u^{'}$ qu'elles portent toutes est exactement ce que la règle générale ajoute. Contrôle immédiat : en prenant $u = x$ , donc $u^{'} = 1$ , chaque ligne redonne la dérivée usuelle correspondante.
2. $(u \circ v)^{'} (x) = v^{'} (x) \times u^{'} (v (x))$
3. Les composées usuelles : le facteur u′ est ce qui les distingue des dérivées simples.
4. Nommer l'intérieur : poser $u = \dots$ explicitement, sur une ligne à part, et calculer $u^{'}$ avant toute autre chose.
5. Reconnaître la forme extérieure : est-ce $e^{u}$ , $ln u$ , $u^{n}$ , $u$ , $sin u$ ? Une seule ligne du tableau s'applique.
6. Écrire la formule avant de remplacer. Substituer directement est ce qui fait perdre le facteur $u^{'}$ .
7. Vérifier le domaine : $ln u$ exige $u > 0$ , $u$ exige $u > 0$ pour être dérivable — la dérivée n'existe pas partout où la fonction existe.
8. Pour $f$ : on pose $u = - x^{2}$ , d'où $u^{'} = - 2 x$ .
9. La forme est $e^{u}$ , de dérivée $u^{'} e^{u}$ .
10. Pour $g$ : on pose $u = 3 x + 1$ , d'où $u^{'} = 3$ .
11. La forme est $ln u$ , de dérivée $\frac{u ^{'}}{u}$ .
12. $f^{'} (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$ et $g^{'} (x) = \frac{3}{3 x + 1}$ .
13. Un maximum local est une valeur que la fonction n'excède pas au voisinage d'un point ; un maximum global est une valeur qu'elle n'excède nulle part sur l'intervalle d'étude. Un extremum local ne peut se produire qu'en un point où $f^{'}$ change de signe — l'annulation seule ne suffit pas, comme le montre $x^{3}$ en 0. Sur un intervalle fermé, il faut en outre comparer aux valeurs des bornes : le maximum global peut être atteint en $a$ ou en $b$ , où $f^{'}$ ne s'annule pas.
14. Choisir la variable et l'exprimer clairement : « soit $x$ la largeur, en mètres ». Une variable non nommée rend tout le reste illisible.
15. Écrire la grandeur à optimiser en fonction de $x$ , et déterminer l'intervalle dans lequel $x$ peut varier — les contraintes géométriques ou physiques le fixent.
16. Dériver, factoriser, étudier le signe de la dérivée sur cet intervalle.
17. Dresser le tableau de variations et lire l'extremum, sans oublier de comparer aux bornes si l'intervalle est fermé.
18. Répondre à la question posée, avec l'unité et la valeur optimisée.
19. Soit $x$ la largeur en mètres, comptée deux fois ; la longueur vaut alors $100 - 2 x$ , et $x$ varie dans $] 0; 50 [$ .
20. L'aire s'écrit $A (x) = x (100 - 2 x) = 100 x - 2 x^{2}$ .
21. On dérive : $A^{'} (x) = 100 - 4 x$ , qui s'annule en 25 et change de signe.
22. $A^{'}$ est positive avant 25, négative après : $A$ croît puis décroît, donc atteint son maximum en $x = 25$ .
23. On calcule l'aire correspondante.
24. Aire maximale de 1 250 m², pour un enclos de 25 m sur 50 m.
25. Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle lorsque $f^{''} \geq 0$ , et concave lorsque $f^{''} \leq 0$ . La lecture géométrique est plus parlante que la définition : une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes et tourne sa creux vers le haut ; une fonction concave fait l'inverse. Ce n'est pas le sens de variation qui est décrit ici, mais la façon dont il change : une fonction peut décroître de façon convexe — de plus en plus lentement — ou concave — de plus en plus vite.
26. $f^{''} \geq 0 ⟺ f convexe; f^{''} \leq 0 ⟺ f concave$
27. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où la fonction passe de convexe à concave ou l'inverse. Il correspond à un changement de signe de $f^{''}$ — et non à sa simple annulation, exactement comme un extremum demande un changement de signe de $f^{'}$ . La fonction $x \mapsto x^{4}$ a une dérivée seconde nulle en 0 sans point d'inflexion : $12 x^{2}$ reste positive de part et d'autre, et la courbe est convexe partout.
28. Convexe, concave, et le point où la tangente traverse la courbe.