Quiz — Dérivation avancée — Composition et applications

Question 1

On considère $g(x) = e^{2x^3 - 4x}$. Calculez $g'(1)$.

Accepted Answer

$g'(1) = (6x^2 - 4)e^{-2}$

Answer

$g'(1) = 2e^{-2}$

Answer

$g'(1) = (6x^2 - 4)e^{2x^3 - 4x}$

Answer

$g'(1) = e^{6x^2 - 4}$

Question 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie concernant les extrema de $f$ ?

Accepted Answer

La fonction $f$ admet un minimum local en $x=-1$ et un maximum local en $x=1$.

Answer

La fonction $f$ admet un maximum local en $x=-1$ et un minimum local en $x=1$.

Answer

La fonction $f$ n'admet aucun extremum local.

Answer

La fonction $f$ admet un minimum global en $x=-1$ et un maximum global en $x=1$.

Question 3

Soit la fonction $r$ définie par $r(x) = e^{-x^2}$. Déterminez la convexité de cette fonction sur $\mathbb{R}$ en fonction de la valeur de $x$.

Accepted Answer

La fonction est convexe sur $]-\infty ; -\frac{1}{\sqrt{2}}[$ et sur $]\frac{1}{\sqrt{2}} ; +\infty[$ ; concave sur $]-\frac{1}{\sqrt{2}} ; \frac{1}{\sqrt{2}}[$.

Answer

La fonction est toujours convexe sur $\mathbb{R}$.

Answer

La fonction est concave sur $]-\infty ; 0[$ et convexe sur $]0 ; +\infty[$.

Answer

La fonction est concave sur $]-\infty ; -\frac{1}{\sqrt{2}}[$ et sur $]\frac{1}{\sqrt{2}} ; +\infty[$ ; convexe sur $]-\frac{1}{\sqrt{2}} ; \frac{1}{\sqrt{2}}[$.

Question 4

Soit la fonction $n$ définie par $n(x) = \frac{x^2}{e^x}$. On cherche son extremum local. Quelle est la valeur de cet extremum ?

Accepted Answer

$n(2) = \frac{4}{e^2}$

Answer

$n(0) = 0$

Answer

$n(-2) = \frac{4}{e^{-2}}$

Answer

$n(1) = \frac{1}{e}$

Question 5

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f''(x) = 6x - 4$. On sait que $f'(0) = 2$ et $f(0) = 1$. Parmi les propositions suivantes, quelle est la valeur de $f(1)$ ?

Accepted Answer

$f(1) = 3$

Answer

$f(1) = 4$

Answer

$f(1) = 5$

Answer

$f(1) = 2$

Dérivation avancée — Composition et applications

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