Soit la fonction k définie par k(x) = e^(x² + 3x). Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de k au point d'abscisse x = 1. Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

y = (2 + 3) · e⁴ · (x - 1) + e⁴

y = (2x + 3) · e^(x² + 3x) · (x - 1) + e⁴

On considère f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2. Déterminez la convexité de f et repérez ses points d'inflexion.

Convexe sur ]-∞; 1[ ∪ ]3; +∞[ et concave sur ]1; 3[, points d'inflexion en x=1 et x=3.

Convexe sur R, pas de point d'inflexion.

Convexe sur ]-∞; 2[ et concave sur ]2; +∞[, point d'inflexion en x=2.

Concave sur R, pas de point d'inflexion.

Soit la fonction g définie par g(x) = e^(sin(x²)). On note g'(x) sa dérivée. Une expression correcte de g'(x) est :

g'(x) = 2xcos(x²) e^(sin(x²))

g'(x) = 2xsin(x²) e^(sin(x²))

Soit f(x) = x e^(-x²). Déterminez le ou les extrema locaux de f.

Un maximum local en x=0 et un minimum local en x=1/(√2).

Un maximum local en x=0 et un minimum local en x=± 1.

Un minimum local en x=0 et un maximum local en x=± 1.

Un minimum local en x=0 et aucun autre extremum.

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Dérivation avancée — Composition et applications

Programme en vigueur — arrêtés du 19 juillet 2019, applicable en Terminale depuis la rentrée 2020. Voir le texte

Dérivée de fonctions composées (u∘v)'. Dérivée de ln(u), e^u, sin(u), cos(u). Optimisation : extrema globaux et locaux. Convexité et point d'inflexion.

La règle d'or

Dériver une composée, c'est dériver l'extérieur en laissant l'intérieur intact, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur.

L'erreur que tout le monde fait

Dériver l'exponentielle de 3x en elle-même, ou le logarithme de 5x en l'inverse de 5x.

Le facteur donné par la dérivée de l'intérieur manque dans les deux cas. L'erreur ne produit aucune absurdité visible : le résultat garde la bonne allure et n'est faux que d'un facteur constant, dont toutes les questions suivantes héritent.

Écrire la fonction intérieure et sa dérivée sur une ligne séparée avant d'appliquer la formule. Tant que ces deux lignes ne sont pas posées, ne rien dériver.

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Notions à maîtriser

composée
ln(u)
e^u
optimisation
convexité
point d'inflexion

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Fiche de révision

Dérivation avancée : Composition et applications

Dérivation avancée — Composition et applications 1. Composition de fonctions et dérivation La dérivée d'une fonction composée (u ∘ v)(x) = u(v(x)) est donnée par la formule de

Lire la fiche

Presque aucune fonction du programme de terminale n'est une dérivée usuelle telle quelle : elles sont emboîtées. $e^{- x^{2}}$ , $ln (3 x + 1)$ , $x^{2} + 1$ — dans chacune, une fonction est glissée à l'intérieur d'une autre, et une seule règle permet de les dériver toutes. Ce chapitre en tire deux applications qui vont plus loin que le calcul : l'optimisation, qui cherche le meilleur choix possible, et la convexité, qui décrit non plus le sens de variation mais la façon dont il change.

1Dériver une composée

Règle

La dérivée d'une composée $u \circ v$ — c'est-à-dire de $x \mapsto u (v (x))$ — vaut $v^{'} (x) \times u^{'} (v (x))$ : on dérive la fonction extérieure en laissant l'intérieur intact, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Toutes les formules du tableau ci-dessous n'en sont que des cas particuliers, et le facteur $u^{'}$ qu'elles portent toutes est exactement ce que la règle générale ajoute. Contrôle immédiat : en prenant $u = x$ , donc $u^{'} = 1$ , chaque ligne redonne la dérivée usuelle correspondante.

(u \circ v)^{'} (x) = v^{'} (x) \times u^{'} (v (x))

Les composées usuelles : le facteur u′ est ce qui les distingue des dérivées simples.

Dériver une fonction emboîtée

Nommer l'intérieur : poser $u = \dots$ explicitement, sur une ligne à part, et calculer $u^{'}$ avant toute autre chose.
Reconnaître la forme extérieure : est-ce $e^{u}$ , $ln u$ , $u^{n}$ , $u$ , $sin u$ ? Une seule ligne du tableau s'applique.
Écrire la formule avant de remplacer. Substituer directement est ce qui fait perdre le facteur $u^{'}$ .
Vérifier le domaine : $ln u$ exige $u > 0$ , $u$ exige $u > 0$ pour être dérivable — la dérivée n'existe pas partout où la fonction existe. $u$ est définie quand $u \geq 0$ mais dérivable seulement quand $u > 0$ : la nuance est régulièrement demandée.

Exemple

Dériver $f (x) = e^{- x^{2}}$ puis $g (x) = ln (3 x + 1)$ sur $] - \frac{1}{3}; + \infty [$ .

Pour $f$ : on pose $u = - x^{2}$ , d'où $u^{'} = - 2 x$ . $0 - 2 = - 2$
La forme est $e^{u}$ , de dérivée $u^{'} e^{u}$ . $f^{'} (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$ — l'exponentielle étant toujours positive, $f^{'}$ a le signe de $- 2 x$ .
Pour $g$ : on pose $u = 3 x + 1$ , d'où $u^{'} = 3$ . $3 \times 1 = 3$
La forme est $ln u$ , de dérivée $\frac{u ^{'}}{u}$ . $3 - 0 = 3$ $g^{'} (x) = \frac{3}{3 x + 1}$ , positive sur l'intervalle : $g$ y est croissante.

$f^{'} (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$ et $g^{'} (x) = \frac{3}{3 x + 1}$ .

Piège

Dériver $e^{3 x}$ en $e^{3 x}$ , ou $ln (5 x)$ en $\frac{1}{5 x}$ .

Pourquoi — le facteur $u^{'}$ manque dans les deux cas. Les réponses justes sont $3 e^{3 x}$ et $\frac{5}{5 x} = \frac{1}{x}$ . L'erreur ne produit aucune absurdité visible — le résultat a la bonne allure, il est seulement faux d'un facteur constant, et toutes les questions suivantes en héritent.

Le réflexe — écrire $u$ et $u^{'}$ sur une ligne séparée avant d'appliquer la formule. Tant que ces deux lignes ne sont pas posées, ne rien dériver.

2Optimisation

Définition

extremum local et global — Un maximum local est une valeur que la fonction n'excède pas au voisinage d'un point ; un maximum global est une valeur qu'elle n'excède nulle part sur l'intervalle d'étude. Un extremum local ne peut se produire qu'en un point où $f^{'}$ change de signe — l'annulation seule ne suffit pas, comme le montre $x^{3}$ en 0. Sur un intervalle fermé, il faut en outre comparer aux valeurs des bornes : le maximum global peut être atteint en $a$ ou en $b$ , où $f^{'}$ ne s'annule pas.

Résoudre un problème d'optimisation

Choisir la variable et l'exprimer clairement : « soit $x$ la largeur, en mètres ». Une variable non nommée rend tout le reste illisible.
Écrire la grandeur à optimiser en fonction de $x$ , et déterminer l'intervalle dans lequel $x$ peut varier — les contraintes géométriques ou physiques le fixent.
Dériver, factoriser, étudier le signe de la dérivée sur cet intervalle.
Dresser le tableau de variations et lire l'extremum, sans oublier de comparer aux bornes si l'intervalle est fermé.
Répondre à la question posée, avec l'unité et la valeur optimisée.la question demande souvent les dimensions et l'aire maximale : donner l'une sans l'autre coûte un point.

Exemple

On dispose de 100 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur — le mur remplace un côté. Quelles dimensions donnent l'aire maximale ?

Soit $x$ la largeur en mètres, comptée deux fois ; la longueur vaut alors $100 - 2 x$ , et $x$ varie dans $] 0; 50 [$ . $100 \div 2 = 50$
L'aire s'écrit $A (x) = x (100 - 2 x) = 100 x - 2 x^{2}$ . $2 \times 50 = 100$
On dérive : $A^{'} (x) = 100 - 4 x$ , qui s'annule en 25 et change de signe. $100 \div 4 = 25$
$A^{'}$ est positive avant 25, négative après : $A$ croît puis décroît, donc atteint son maximum en $x = 25$ . $100 - 2 \times 25 = 50$
On calcule l'aire correspondante. $25 \times 50 = 1250$ l'enclos optimal mesure 25 m sur 50 m.

Aire maximale de 1 250 m², pour un enclos de 25 m sur 50 m.

3Convexité

Définition

convexité — Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle lorsque $f^{''} \geq 0$ , et concave lorsque $f^{''} \leq 0$ . La lecture géométrique est plus parlante que la définition : une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes et tourne sa creux vers le haut ; une fonction concave fait l'inverse. Ce n'est pas le sens de variation qui est décrit ici, mais la façon dont il change : une fonction peut décroître de façon convexe — de plus en plus lentement — ou concave — de plus en plus vite.

f^{''} \geq 0 ⟺ f convexe; f^{''} \leq 0 ⟺ f concave

Règle

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où la fonction passe de convexe à concave ou l'inverse. Il correspond à un changement de signe de $f^{''}$ — et non à sa simple annulation, exactement comme un extremum demande un changement de signe de $f^{'}$ . La fonction $x \mapsto x^{4}$ a une dérivée seconde nulle en 0 sans point d'inflexion : $12 x^{2}$ reste positive de part et d'autre, et la courbe est convexe partout.

Convexe, concave, et le point où la tangente traverse la courbe.

La convexité n'est pas une curiosité d'analyse : c'est la forme mathématique de l'expression « la hausse ralentit ». Une épidémie dont les cas cumulés cessent d'être convexes pour devenir concaves a franchi son pic de contagion, alors même que le nombre total continue d'augmenter. Le point d'inflexion est ce moment de bascule — la croissance continue, mais elle a commencé à ralentir. C'est aussi pourquoi les copies confondent inflexion et maximum : l'un annule $f^{''}$ , l'autre $f^{'}$ , et ils n'ont pas lieu au même endroit.

▢Ai-je posé $u$ et $u^{'}$ avant d'appliquer une formule de composée ?
▢Le facteur $u^{'}$ figure-t-il bien dans ma dérivée ?
▢Pour une optimisation : ai-je nommé la variable et donné son intervalle ?
▢Ai-je comparé aux valeurs des bornes sur un intervalle fermé ?
▢Convexité : ai-je bien utilisé $f^{''}$ , et non $f^{'}$ ?
▢Pour une inflexion : ai-je vérifié le changement de signe de $f^{''}$ ?

L'essentiel en 7 points

· $(u \circ v)^{'} = v^{'} \times (u^{'} \circ v)$ — dériver l'extérieur, multiplier par l'intérieur.
· $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ · $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ · $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ .
· $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ — définie si $u \geq 0$ , dérivable si $u > 0$ .
·Le facteur $u^{'}$ est ce qu'on oublie : poser $u$ et $u^{'}$ avant tout.
·Extremum : $f^{'}$ doit changer de signe — et comparer aux bornes si l'intervalle est fermé.
· $f^{''} \geq 0$ ⟺ convexe, courbe au-dessus de ses tangentes.
·Point d'inflexion : $f^{''}$ change de signe, pas seulement s'annule.

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Fiche PDF — Dérivation avancée — Composition et applications

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Au sommaire du cours

1. Dériver une composée
2. Optimisation
3. Convexité

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Dériver, en posant $u$ et $u'$.

Calculer

a. $f (x) = e^{5 x}$
b. $g (x) = ln (2 x + 7)$
c. $h (x) = (3 x - 1)^{4}$

›Voir le corrigé

a. $u = 5 x$ , $u^{'} = 5$ , forme $e^{u}$ . $5 \times 1 = 5$ $f^{'} (x) = 5 e^{5 x}$ .
b. $u = 2 x + 7$ , $u^{'} = 2$ , forme $ln u$ . $2 + 0 = 2$ $g^{'} (x) = \frac{2}{2 x + 7}$ .
c. $u = 3 x - 1$ , $u^{'} = 3$ , forme $u^{4}$ de dérivée $4 u^{'} u^{3}$ . $4 \times 3 = 12$ $h^{'} (x) = 12 (3 x - 1)^{3}$ .

Composées mêlées.

Calculer

a. $f (x) = e^{x^{2} - 3 x}$
b. $g (x) = x^{2} + 1$
c. $h (x) = x e^{- x}$

›Voir le corrigé

a. $u = x^{2} - 3 x$ , $u^{'} = 2 x - 3$ . $2 - 3 = - 1$ $f^{'} (x) = (2 x - 3) e^{x^{2} - 3 x}$ .
b. $u = x^{2} + 1$ , $u^{'} = 2 x$ , forme $u$ de dérivée $\frac{u ^{'}}{2 u}$ . $2 \div 2 = 1$ $g^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ , après simplification par 2.
c. Ici c'est un produit, pas une composée : $u = x$ et $v = e^{- x}$ . $1 - 1 = 0$
On applique $u^{'} v + u v^{'}$ , avec $v^{'} = - e^{- x}$ , puis on factorise. $1 - 1 = 0$ $h^{'} (x) = (1 - x) e^{- x}$ — reconnaître la structure avant de dériver est la moitié du travail.

Composées trigonométriques et tangente.

Calculer

a.Dériver $f (x) = sin (2 x)$ puis $g (x) = cos (x^{2})$ .
b.Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0.

›Voir le corrigé

a. Pour $f$ : $u = 2 x$ , $u^{'} = 2$ , forme $sin u$ de dérivée $u^{'} cos u$ . $2 \times 1 = 2$ $f^{'} (x) = 2 cos (2 x)$ .
Pour $g$ : $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ , forme $cos u$ de dérivée $- u^{'} sin u$ . $0 - 2 = - 2$ $g^{'} (x) = - 2 x sin (x^{2})$ — le signe moins et le facteur $u^{'}$ sont deux oublis distincts.
b. La pente vaut $f^{'} (0) = 2 cos 0$ . $2 \times 1 = 2$
Et l'ordonnée du point de contact est $f (0) = sin 0$ . $2 \times 0 = 0$ la tangente a pour équation $y = 2 x$ .

Variations d'une fonction composée. Soit $f(x) = \mathrm{e}^{-x^{2}}$ sur $\mathbb{R}$.

Raisonner

a.Calculer $f^{'} (x)$ et déterminer son signe.
b.Dresser le tableau de variations et donner le maximum.

›Voir le corrigé

a. $u = - x^{2}$ , $u^{'} = - 2 x$ , donc $f^{'} (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$ . $0 - 2 = - 2$
L'exponentielle est strictement positive, donc $f^{'}$ a le signe de $- 2 x$ : positive avant 0, négative après. $2 - 2 = 0$
b. $f$ croît sur $] - \infty; 0]$ puis décroît : maximum en 0. $0 - 0 = 0$ $f (0) = e^{0} = 1$ : maximum global égal à 1.

Une boîte sans couvercle est fabriquée dans un carton carré de 24 cm de côté, en découpant un carré de côté $x$ à chaque coin.

Modéliser

a.Exprimer le volume $V (x)$ et donner l'intervalle d'étude.
b.On admet $V^{'} (x) = 12 (x - 4) (3 x - 36)$ . Étudier son signe.
c.En déduire le volume maximal.

›Voir le corrigé

a. Après pliage, la base mesure $24 - 2 x$ de côté et la hauteur vaut $x$ : $V (x) = x (24 - 2 x)^{2}$ . $24 - 2 \times 4 = 16$
Le côté restant devant être positif, $x$ varie dans $] 0; 12 [$ . $24 \div 2 = 12$
b. $V^{'}$ s'annule en 4 et en 12, et 12 est exclu. $36 \div 3 = 12$
Sur $] 0; 4 [$ les deux facteurs sont négatifs, donc le produit est positif ; sur $] 4; 12 [$ un seul l'est. $- 4 \times - 36 = 144$ $V$ croît puis décroît : maximum en $x = 4$ .
c. On calcule le volume en 4. $4 \times 256 = 1024$ $1 6^{2} = 256$ , donc 1 024 cm³ pour une découpe de 4 cm.

Convexité. Soit $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$ sur $\mathbb{R}$.

Raisonner

a.Calculer $f^{'}$ puis $f^{''}$ .
b.Étudier la convexité de $f$ .
c.Déterminer le point d'inflexion et justifier son existence.

›Voir le corrigé

a. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$ . $3 \times 2 = 6$ puis $f^{''} (x) = 6 x - 6 = 6 (x - 1)$ .
b. $f^{''}$ est négative avant 1, positive après. $6 - 6 = 0$ $f$ est concave sur $] - \infty; 1]$ et convexe sur $[1; + \infty [$ .
c. $f^{''}$ change de signe en 1 : c'est bien un point d'inflexion, et non une simple annulation. $1 - 3 + 2 = 0$ $f (1) = 0$ : le point d'inflexion est $(1; 0)$ .

Vrai ou faux, en justifiant.

Raisonner

a.Si $f^{''} (a) = 0$ alors $a$ est un point d'inflexion.
b.Une fonction convexe est croissante.
c.La dérivée de $ln (x^{2})$ sur $] 0; + \infty [$ est $\frac{1}{x ^{2}}$ .

›Voir le corrigé

a. Faux : il faut un changement de signe. $12 \times 0 = 0$ pour $x^{4}$ , $f^{''} = 12 x^{2}$ s'annule en 0 en restant positive : la courbe reste convexe.
b. Faux : convexité et variation sont deux choses distinctes. $0 - 0 = 0$ $e^{- x}$ est convexe et strictement décroissante — elle décroît de plus en plus lentement.
c. Faux : le facteur $u^{'}$ manque. $2 \div 1 = 2$ $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ , donc la dérivée vaut $\frac{2 x}{x ^{2}} = \frac{2}{x}$ .

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

$u$ et $u'$ posés explicitement3 ptsPerdu si : Une substitution directe, et le facteur $u'$ perdu
Formule de composée exacte4 ptsPerdu si : $\ln(5x)$ dérivé en $\dfrac{1}{5x}$
Variable nommée et intervalle donné3 ptsPerdu si : Une optimisation menée sans domaine
Signe de la dérivée après factorisation4 ptsPerdu si : Un signe cherché sur une somme
Bornes comparées, réponse dans le contexte3 ptsPerdu si : Des dimensions données sans l'aire, ou sans unité
Convexité et inflexion établies par $f''$3 ptsPerdu si : Une inflexion conclue d'une simple annulation

La méthode

Étudier la convexité d'une fonction

1
Dériver la fonction, puis dériver le résultat une seconde fois.
2
Étudier le signe de cette dérivée seconde.
3
Conclure à la convexité là où elle est positive, à la concavité là où elle est négative.
4
Chercher les points où elle change de signe, et non ceux où elle s'annule seulement.
Un point d'inflexion exige un changement de signe : une annulation isolée n'en produit pas.

Se tester

Touches 1 à 4

MathématiquesTerminale

Question 1

Soit la fonction

n

définie par

n(x) = \frac{x^2}{e^x}

. On cherche son extremum local. Quelle est la valeur de cet extremum ?

Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.

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Questions fréquentes

Dérivation avancée — Composition et applications : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Terminale, année du Baccalauréat. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Dérivation avancée — Composition et applications ?

Dérivée de fonctions composées (u∘v)'. Dérivée de ln(u), e^u, sin(u), cos(u). Optimisation : extrema globaux et locaux. Convexité et point d'inflexion. Les notions à maîtriser sont : composée, ln(u), e^u, optimisation, convexité, point d'inflexion.

Où télécharger la fiche PDF de Dérivation avancée — Composition et applications ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 8 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Dérivation avancée — Composition et applications est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Dérivation avancée — Composition et applications peut-il tomber au Baccalauréat ?

Ce chapitre fait partie du programme officiel de Terminale, il entre donc dans le périmètre du Baccalauréat. Le sujet exact varie chaque année et aucun chapitre n'est garanti, mais l'ensemble du programme de l'année est susceptible d'être évalué : mieux vaut ne pas parier sur des impasses.

Comment réviser Dérivation avancée — Composition et applications efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Dérivation avancée — Composition et applications ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

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vacances de la Toussaint

Cahier de vacances de la Toussaint — maths Tle spé

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