Fiche à trous · Terminale · Mathématiques

Géométrie dans l'espace — produit scalaire, plans et distances

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Passer du plan à l'espace ajoute une coordonnée, et change une chose essentielle : une équation ne décrit plus une droite mais un plan. C'est le renversement à intégrer. Le fil du chapitre tient alors en un objet, le vecteur normal : il définit un plan, il donne son équation, il mesure la distance d'un point à ce plan, et il tranche toutes les questions de position relative. Presque chaque exercice revient à le trouver, puis à faire un produit scalaire.

Vecteurs et produit scalaire

Définition — produit scalaire dans l'espace :

Propriété

Exemple

Soient $u (1; 2; - 1)$ et $v (3; - 1; 1)$ . Sont-ils orthogonaux ? Quelle est la norme de $u$ ?

Résultat :

Le plan et son vecteur normal

Définition — vecteur normal :

Règle

13.

Trouver l'équation d'un plan

Exemple

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par $A (1; 2; 3)$ et de vecteur normal $n (2; 1; 2)$ .

Résultat :

Exemple

Déterminer une équation du plan passant par $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 1; 0)$ et $C (0; 0; 1)$ .

Résultat :

Distance d'un point à un plan

Règle

Exemple

Calculer la distance de l'origine $O (0; 0; 0)$ au plan $2 x + y + 2 z - 6 = 0$ .

Résultat :

Représenter une droite

Définition — représentation paramétrique :

Trouver l'intersection d'une droite et d'un plan

Exemple

La droite $D$ passe par $A (1; 0; 2)$ et a pour vecteur directeur $u (1; 2; 1)$ . Déterminer son intersection avec le plan $P : 2 x + y - z - 1 = 0$ .

Résultat :

Positions relatives

Règle

50.

Piège

Conclure d'un produit scalaire nul $u \cdot n = 0$ que la droite est parallèle au plan, sans plus.

prendre un point de la droite et l'injecter dans l'équation du plan. Si l'équation est vérifiée, la droite est incluse ; sinon, elle est strictement parallèle.

Une comparaison éclaire tout le chapitre : dans le plan, une équation décrit une droite ; dans l'espace, elle décrit un plan. À chaque fois, une équation retire une dimension. Il en découle qu'une droite de l'espace, qui a deux dimensions de moins que lui, se décrit par deux équations — c'est-à-dire comme l'intersection de deux plans non parallèles. La représentation paramétrique et le système de deux équations décrivent donc le même objet : la première dit comment le parcourir, le second à quelles conditions on s'y trouve.

Le repère est-il orthonormé ? Sans quoi la formule du produit scalaire ne s'applique pas.
Ai-je lu le vecteur normal directement sur les coefficients de l'équation ?
Ai-je déterminé $d$ avec un point, puis vérifié ?
La valeur absolue figure-t-elle au numérateur de la distance ?
Le dénominateur est-il la norme du vecteur normal, et non autre chose ?
Pour une droite parallèle : ai-je testé un point pour écarter l'inclusion ?

Corrigé · à détacher

Géométrie dans l'espace — produit scalaire, plans et distances

1. Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de $u (x; y; z)$ et $v (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ vaut $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ : la formule du plan, avec un terme de plus. Sa propriété décisive est inchangée — il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux. La norme s'en déduit : $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ , qui est le théorème de Pythagore appliqué deux fois.
2. $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}; u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$
3. Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre : $v = k u$ . Trois vecteurs sont coplanaires lorsque l'un s'écrit comme combinaison des deux autres, $w = a u + b v$ — ce qui revient à dire qu'ils tiennent tous trois dans un même plan. C'est la notion qui remplace la colinéarité pour décider si quatre points de l'espace sont dans un même plan, question que la géométrie plane ne pouvait pas poser.
4. Le produit scalaire mesure aussi un angle : $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos θ$ , où $θ$ est l'angle géométrique entre les deux vecteurs. On en tire $cos θ$ par division, puis $θ$ à la calculatrice. Le signe du produit scalaire suffit souvent : positif, l'angle est aigu ; nul, il est droit ; négatif, obtus. C'est le même énoncé que l'orthogonalité, lu sous un autre jour — $cos θ = 0$ et $u \cdot v = 0$ disent la même chose.
5. $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \times ∥ v ∥}$
6. On calcule le produit scalaire, coordonnée par coordonnée : $1 \times 3$ , puis $2 \times (- 1)$ , puis $(- 1) \times 1$ .
7. Pour la norme, on somme les carrés.
8. Puis on prend la racine.
9. Orthogonaux, et $∥ u ∥ = 6$ .
10. Un vecteur $n$ non nul est normal à un plan $P$ lorsqu'il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan. Il suffit en pratique qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : les autres s'en déduisent. Un plan possède une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires entre eux — c'est la direction qui compte, pas la longueur.
11. Tout plan admet une équation cartésienne de la forme $a x + b y + cz + d = 0$ , et le vecteur $n (a; b; c)$ formé des trois premiers coefficients est normal à ce plan. La réciproque vaut aussi : connaissant un vecteur normal et un point, on connaît l'équation. C'est la correspondance centrale du chapitre, et elle se lit dans les deux sens — d'une équation on tire un vecteur normal par simple lecture, sans aucun calcul.
12. $P : a x + b y + cz + d = 0 ⟺ n (a; b; c) normal \overset{a}{ˋ} P$
13. Le vecteur normal, l'équation cartésienne et la distance d'un point au plan.
14. Obtenir un vecteur normal. Ou bien l'énoncé le donne, ou bien on le cherche : $n (a; b; c)$ orthogonal à deux vecteurs du plan donne deux équations, qu'on résout en fixant arbitrairement une coordonnée.
15. Écrire $a x + b y + cz + d = 0$ avec les coordonnées trouvées, en laissant $d$ inconnu.
16. Utiliser un point du plan pour déterminer $d$ : on remplace $x$ , $y$ , $z$ par ses coordonnées, et l'équation donne $d$ .
17. Vérifier sur un autre point connu du plan.
18. Les coefficients sont les coordonnées de $n$ : l'équation s'écrit $2 x + y + 2 z + d = 0$ .
19. On remplace par les coordonnées de $A$ : $2 \times 1$ , puis 2, puis $2 \times 3$ .
20. Il faut donc $10 + d = 0$ .
21. Vérification sur $A$ : la somme doit être nulle.
22. $P : 2 x + y + 2 z - 10 = 0$
23. On forme deux vecteurs du plan : $A B (- 1; 1; 0)$ et $A C (- 1; 0; 1)$ . Ils ne sont pas colinéaires, donc ils dirigent bien un plan.
24. On cherche $n (a; b; c)$ orthogonal aux deux : $n \cdot A B = - a + b = 0$ donne $b = a$ .
25. Et $n \cdot A C = - a + c = 0$ donne $c = a$ . On fixe $a = 1$ , ce qui est licite : seule la direction compte.
26. L'équation s'écrit $x + y + z + d = 0$ , et le point $A$ donne $d$ .
27. Vérification sur $B$ , qui doit annuler l'équation.
28. $x + y + z - 1 = 0$
29. La distance du point $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ au plan d'équation $a x + b y + cz + d = 0$ vaut $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ . Le numérateur est le membre de gauche de l'équation évalué en $M$ — il vaut 0 exactement quand $M$ appartient au plan, ce qui donne une distance nulle, comme il se doit. La valeur absolue est indispensable : une distance ne peut pas être négative, et sans elle le signe du résultat dépendrait du côté du plan où se trouve le point.
30. $d (M; P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$
31. On évalue le membre de gauche en $O$ : les trois premiers termes sont nuls, il reste $- 6$ .
32. On en prend la valeur absolue.
33. Au dénominateur, la norme du vecteur normal $n (2; 1; 2)$ .
34. Sa racine est entière.
35. On divise.
36. $d (O; P) = 2$
37. Une droite de l'espace n'a pas d'équation cartésienne unique — une seule équation y décrit un plan. On la décrit donc par un paramètre : la droite passant par $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et de vecteur directeur $u (a; b; c)$ est l'ensemble des points $M$ tels que $A M = t u$ , avec $t$ parcourant $R$ . En coordonnées, cela donne trois égalités. Chaque valeur de $t$ fournit un point de la droite : $t = 0$ redonne $A$ , $t = 1$ le point $A + u$ .
38. $⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + a t y = y_{A} + b t z = z_{A} + c t t \in R$
39. Écrire la représentation paramétrique de la droite, si l'énoncé ne la donne pas.
40. Substituer $x$ , $y$ et $z$ dans l'équation du plan : il ne reste qu'une équation à une inconnue, le paramètre $t$ .
41. Résoudre en $t$ , et lire le résultat. Une solution unique donne le point d'intersection ; aucune solution — une égalité impossible comme $0 = 5$ — signifie que la droite est strictement parallèle ; une infinité — l'égalité $0 = 0$ — qu'elle est incluse dans le plan.
42. Remplacer $t$ par sa valeur dans la paramétrique pour obtenir les coordonnées du point, puis vérifier qu'il satisfait l'équation du plan.
43. La représentation paramétrique s'écrit $x = 1 + t$ , $y = 2 t$ , $z = 2 + t$ .
44. On substitue dans l'équation du plan et l'on regroupe les termes en $t$ : $2 \times 1 + 2 \times 1 - 1 \times 1$ .
45. Puis les termes constants : $2 \times 1 + 0 - 2 - 1$ .
46. L'équation devient $3 t - 1 = 0$ .
47. On reporte $t = \frac{1}{3}$ dans la paramétrique.
48. Un unique point d'intersection : $(\frac{4}{3}; \frac{2}{3}; \frac{7}{3})$ .
49. Toutes les positions relatives se tranchent avec les mêmes outils. Deux plans : leurs vecteurs normaux sont colinéaires ⟹ parallèles ; sinon, sécants selon une droite. Une droite et un plan : si $u \cdot n = 0$ , la droite est parallèle au plan — et incluse dedans si l'un de ses points y appartient ; sinon, ils sont sécants en un point. Deux droites : vecteurs directeurs colinéaires ⟹ parallèles ; sinon, sécantes ou non coplanaires, et l'on tranche en cherchant un point commun par résolution du système.
50. Trois questions, trois tests — et le cas d'inclusion qu'un produit scalaire nul ne suffit pas à écarter.