Quiz — Géométrie vectorielle dans l'espace

Question 1

Lors d'une compétition d'athlétisme, un coureur suit une trajectoire rectiligne définie par la droite $\mathcal{D}$ d'équations paramétriques $(x; y; z) = (1; 2; 3) + t(2; -1; 2)$. Un juge se place en $J(4; 0; 5)$. Quelle est la distance entre le juge et la trajectoire du coureur ?

Accepted Answer

$$d = \frac{|2 	imes 4 - 1 	imes 0 + 2 	imes 5 - 9|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}$$ avec $9 = 2 	imes 1 - 1 	imes 2 + 2 	imes 3$

Answer

$$d = \frac{|2(4-1) - 1(0-2) + 2(5-3)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}$$

Answer

$$d = \frac{|2 	imes 4 - 1 	imes 0 + 2 	imes 5 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}$$ car $1$ vient de $1 + 0 + 5$

Answer

$$d = \sqrt{(4-1)^2 + (0-2)^2 + (5-3)^2} - \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}$$

Question 2

Un athlète lance un javelot depuis le point $O(0; 0; 0)$ avec une vitesse initiale $\vec{v}(1; 2; 3)$. La trajectoire du javelot est modélisée par la droite de vecteur directeur $\vec{v}$. Déterminez l'angle entre cette droite et le plan horizontal défini par $z = 0$.

Accepted Answer

$	heta = \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}}ight)$

Answer

$	heta = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}}ight)$

Answer

$	heta = \arctan\left(\frac{3}{\sqrt{1^2 + 2^2}}ight)$

Answer

$	heta = \arccos\left(\frac{\sqrt{1^2 + 2^2}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}}ight)$

Question 3

Une sonde spatiale en orbite autour de Mars est modélisée par le point $M(2; -1; 3)$. Un ingénieur souhaite calculer la distance entre $M$ et la droite $\mathcal{D}_3$ passant par $H(0; 2; -1)$ avec un vecteur directeur $\vec{d} = (1; -2; 2)$. L'élève utilise la formule : $$d = \frac{\|\vec{HM} \wedge \vec{d}\|}{\|\vec{d}\|}$$ et effectue le calcul : $\|\vec{HM} \wedge \vec{d}\| = \sqrt{29}$ et $\|\vec{d}\| = 3$, donc $d = \frac{\sqrt{29}}{3}$. Cette distance est-elle correcte ?

Accepted Answer

Oui, car la formule de la distance entre un point et une droite dans l'espace est $d = \frac{\|\vec{HM} \wedge \vec{d}\|}{\|\vec{d}\|}$, où $H$ est un point de la droite et $\vec{d}$ un vecteur directeur.

Answer

Non, car la formule correcte est $d = \frac{|\vec{HM} \cdot \vec{d}|}{\|\vec{d}\|}$, qui utilise le produit scalaire et non le produit vectoriel.

Answer

Oui, mais il faut d'abord vérifier que le point $M$ n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}_3$.

Answer

Non, car la formule de la distance est $d = \frac{\|\vec{HM} \|}{\|\vec{d}\|}$, sans produit vectoriel.

Question 4

Un satellite en orbite autour de la Lune suit une trajectoire rectiligne définie par la droite $\mathcal{D}$ passant par les points $A(1; 2; -1)$ et $B(3; 0; 1)$. Un autre satellite suit une trajectoire $\mathcal{D}'$ passant par $C(0; 1; 2)$ avec le vecteur directeur $\vec{v}(1; -2; 1)$. Les équipes au sol affirment que les deux trajectoires sont sécantes. Vérifiez cette affirmation en calculant les coordonnées du point d'intersection si elles existent.

Accepted Answer

Les droites ne sont pas sécantes.

Answer

Les droites sont sécantes en $(2; 1; 0)$.

Answer

Les droites sont sécantes en $(1; 1; 1)$.

Answer

Les droites sont sécantes en $(0; 2; -1)$.

Question 5

Lors d'un saut à la perche, un athlète atteint une hauteur maximale au point $P(5; -3; 4)$ dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. La barre est modélisée par la droite d'équations paramétriques : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 5$. Déterminez si le point $P$ appartient à cette droite.

Accepted Answer

On résout le système : $5 = 1 + 2t$, $-3 = 2 - t$, $4 = 5$. La première équation donne $t = 2$, la deuxième donne $t = 5$, donc $P$ n'appartient pas à la droite.

Answer

On résout le système : $5 = 1 + 2t$, $-3 = 2 - t$, $4 = 5$. La troisième équation est fausse, donc $P$ n'appartient pas à la droite.

Answer

On calcule la distance entre $P$ et la droite. Comme elle est non nulle, $P$ n'appartient pas à la droite.

Answer

On vérifie que le vecteur $\overrightarrow{OP}$ est colinéaire au vecteur directeur de la droite $\vec{u}(2; -1; 0)$. Or, $\overrightarrow{OP}(5; -3; 4)$ n'est pas colinéaire à $\vec{u}$, donc $P$ n'appartient pas à la droite.

Géométrie vectorielle dans l'espace

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