Géométrie vectorielle dans l'espace

produit scalaire dans l'espace — Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$ vaut $x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$ : la formule du plan, avec un terme de plus. Sa propriété décisive est inchangée — il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux. La norme s'en déduit : $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, qui est le théorème de Pythagore appliqué deux fois.

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre : $\vec{v}=k\vec{u}$. Trois vecteurs sont coplanaires lorsque l'un s'écrit comme combinaison des deux autres, $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ — ce qui revient à dire qu'ils tiennent tous trois dans un même plan. C'est la notion qui remplace la colinéarité pour décider si quatre points de l'espace sont dans un même plan, question que la géométrie plane ne pouvait pas poser.

Le produit scalaire mesure aussi un angle : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v}\Vert \times \cos \theta$, où $\theta$ est l'angle géométrique entre les deux vecteurs. On en tire $\cos \theta$ par division, puis $\theta$ à la calculatrice. Le signe du produit scalaire suffit souvent : positif, l'angle est aigu ; nul, il est droit ; négatif, obtus. C'est le même énoncé que l'orthogonalité, lu sous un autre jour — $\cos \theta =0$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ disent la même chose.

Soient $\vec{u}(1;2;-1)$ et $\vec{v}(3;-1;1)$. Sont-ils orthogonaux ? Quelle est la norme de $\vec{u}$ ?

1. On calcule le produit scalaire, coordonnée par coordonnée : $1\times 3$, puis $2\times (-1)$, puis $(-1)\times 1$.$3-2-1=0$le produit scalaire est nul : les vecteurs sont orthogonaux.
2. Pour la norme, on somme les carrés.$1+4+1=6$
3. Puis on prend la racine.$\sqrt{6}=2.449489742783178$$\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{6}\approx 2,45$ — on garde la valeur exacte.

Orthogonaux, et $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{6}$.

vecteur normal — Un vecteur $\vec{n}$ non nul est normal à un plan $\mathcal{P}$ lorsqu'il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan. Il suffit en pratique qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : les autres s'en déduisent. Un plan possède une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires entre eux — c'est la direction qui compte, pas la longueur.

Tout plan admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$, et le vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ formé des trois premiers coefficients est normal à ce plan. La réciproque vaut aussi : connaissant un vecteur normal et un point, on connaît l'équation. C'est la correspondance centrale du chapitre, et elle se lit dans les deux sens — d'une équation on tire un vecteur normal par simple lecture, sans aucun calcul.

Trouver l'équation d'un plan

1. Obtenir un vecteur normal. Ou bien l'énoncé le donne, ou bien on le cherche : $\vec{n}(a;b;c)$ orthogonal à deux vecteurs du plan donne deux équations, qu'on résout en fixant arbitrairement une coordonnée.
2. Écrire $ax+by+cz+d=0$ avec les coordonnées trouvées, en laissant $d$ inconnu.
3. Utiliser un point du plan pour déterminer $d$ : on remplace $x$, $y$, $z$ par ses coordonnées, et l'équation donne $d$.
4. Vérifier sur un autre point connu du plan.une erreur de signe sur $d$ est invisible autrement, et fausse toutes les distances calculées ensuite.

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par $A(1;2;3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2;1;2)$.

1. Les coefficients sont les coordonnées de $\vec{n}$ : l'équation s'écrit $2x+y+2z+d=0$.
2. On remplace par les coordonnées de $A$ : $2\times 1$, puis 2, puis $2\times 3$.$2+2+6=10$
3. Il faut donc $10+d=0$.$0-10=-10$$d=-10$.
4. Vérification sur $A$ : la somme doit être nulle.$10-10=0$

$\mathcal{P}:2x+y+2z-10=0$

Déterminer une équation du plan passant par $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$ et $C(0;0;1)$.

1. On forme deux vecteurs du plan : $\overrightarrow{AB}(-1;1;0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1;0;1)$. Ils ne sont pas colinéaires, donc ils dirigent bien un plan.
2. On cherche $\vec{n}(a;b;c)$ orthogonal aux deux : $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=-a+b=0$ donne $b=a$.$0-1+1=0$
3. Et $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=-a+c=0$ donne $c=a$. On fixe $a=1$, ce qui est licite : seule la direction compte.$1-1=0$$\vec{n}(1;1;1)$ convient.
4. L'équation s'écrit $x+y+z+d=0$, et le point $A$ donne $d$.$1+0+0-1=0$$d=-1$.
5. Vérification sur $B$, qui doit annuler l'équation.$0+1+0-1=0$et de même pour $C$ : les trois points conviennent.

$x+y+z-1=0$

La distance du point $M(x_0;y_0;z_0)$ au plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ vaut $\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Le numérateur est le membre de gauche de l'équation évalué en $M$ — il vaut 0 exactement quand $M$ appartient au plan, ce qui donne une distance nulle, comme il se doit. La valeur absolue est indispensable : une distance ne peut pas être négative, et sans elle le signe du résultat dépendrait du côté du plan où se trouve le point.

Calculer la distance de l'origine $O(0;0;0)$ au plan $2x+y+2z-6=0$.

1. On évalue le membre de gauche en $O$ : les trois premiers termes sont nuls, il reste $-6$.$0-6=-6$
2. On en prend la valeur absolue.$0+6=6$
3. Au dénominateur, la norme du vecteur normal $\vec{n}(2;1;2)$.$4+1+4=9$
4. Sa racine est entière.$\sqrt{9}=3$
5. On divise.$6÷3=2$la distance vaut 2 unités.

$d(O;\mathcal{P})=2$

représentation paramétrique — Une droite de l'espace n'a pas d'équation cartésienne unique — une seule équation y décrit un plan. On la décrit donc par un paramètre : la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$, avec $t$ parcourant $\mathbb{R}$. En coordonnées, cela donne trois égalités. Chaque valeur de $t$ fournit un point de la droite : $t=0$ redonne $A$, $t=1$ le point $A+\vec{u}$.

Trouver l'intersection d'une droite et d'un plan

1. Écrire la représentation paramétrique de la droite, si l'énoncé ne la donne pas.
2. Substituer $x$, $y$ et $z$ dans l'équation du plan : il ne reste qu'une équation à une inconnue, le paramètre $t$.
3. Résoudre en $t$, et lire le résultat. Une solution unique donne le point d'intersection ; aucune solution — une égalité impossible comme $0=5$ — signifie que la droite est strictement parallèle ; une infinité — l'égalité $0=0$ — qu'elle est incluse dans le plan.
4. Remplacer $t$ par sa valeur dans la paramétrique pour obtenir les coordonnées du point, puis vérifier qu'il satisfait l'équation du plan.les trois cas de position relative sortent ainsi d'un seul calcul, sans avoir à tester séparément le produit scalaire et l'appartenance.

La droite $\mathcal{D}$ passe par $A(1;0;2)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(1;2;1)$. Déterminer son intersection avec le plan $\mathcal{P}:2x+y-z-1=0$.

1. La représentation paramétrique s'écrit $x=1+t$, $y=2t$, $z=2+t$.
2. On substitue dans l'équation du plan et l'on regroupe les termes en $t$ : $2\times 1+2\times 1-1\times 1$.$2+2-1=3$le coefficient de $t$ vaut 3.
3. Puis les termes constants : $2\times 1+0-2-1$.$2-2-1=-1$
4. L'équation devient $3t-1=0$.$1÷3=0.3333333333333333$une solution unique : la droite et le plan sont sécants.
5. On reporte $t=\frac{1}{3}$ dans la paramétrique.$1+0.3333333333333333=1.3333333333333333$le point d'intersection est $\left(\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}\right)$.

Un unique point d'intersection : $\left(\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}\right)$.

Toutes les positions relatives se tranchent avec les mêmes outils. Deux plans : leurs vecteurs normaux sont colinéaires ⟹ parallèles ; sinon, sécants selon une droite. Une droite et un plan : si $\vec{u}\cdot \vec{n}=0$, la droite est parallèle au plan — et incluse dedans si l'un de ses points y appartient ; sinon, ils sont sécants en un point. Deux droites : vecteurs directeurs colinéaires ⟹ parallèles ; sinon, sécantes ou non coplanaires, et l'on tranche en cherchant un point commun par résolution du système.