Fiche à trous · Terminale · Mathématiques

Intégration — primitives, intégrale définie et valeur moyenne

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

L'intégration est la dérivation lue à l'envers, et c'est ce renversement qui la rend puissante : elle permet de reconstituer une grandeur à partir de sa vitesse de variation. Connaissant le débit d'un fleuve heure par heure, elle donne le volume écoulé ; connaissant une vitesse, la distance parcourue. Le théorème fondamental établit ce lien, et transforme un calcul d'aire — problème géométrique vieux de deux mille ans — en une soustraction de deux valeurs.

Primitives

Définition — primitive :

Exemple

Déterminer la primitive $F$ de $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 5$ qui vérifie $F (1) = 0$ .

Résultat :

Propriété

L'intégrale définie

Règle

Propriété

15.

Piège

Répondre « l'aire vaut $- 2$ » à un calcul d'aire.

étudier le signe de $f$ avant d'intégrer. S'il change, couper l'intervalle par la relation de Chasles et prendre la valeur absolue de chaque morceau.

Exemple

Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de $f (x) = 3 x^{2} + 2 x$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$ .

Résultat :

Intégration par parties

Règle

Choisir $u$ et $v'$

Exemple

Calculer $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ .

Résultat :

Valeur moyenne

Définition — valeur moyenne :

Exemple

La température d'une journée, en degrés, est modélisée sur $[0; 12]$ par $T (t) = 10 + t$ , où $t$ est le nombre d'heures depuis 6 h. Quelle est la température moyenne sur ces douze heures ?

Résultat :

Ai-je vérifié ma primitive en la dérivant ?
Pour une primitive avec condition, ai-je déterminé la constante $C$ ?
Ai-je étudié le signe de $f$ avant de parler d'aire ?
Si $f$ change de signe : ai-je découpé par la relation de Chasles ?
En intégration par parties : $u$ est-il bien la partie qui se simplifie ?
La nouvelle intégrale est-elle plus simple que celle de départ ?

Corrigé · à détacher

Intégration — primitives, intégrale définie et valeur moyenne

1. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ lorsque $F$ est dérivable sur $I$ et que $F^{'} = f$ . Toute fonction continue sur un intervalle en admet, et jamais une seule : si $F$ convient, alors $F + C$ convient aussi pour toute constante $C$ , puisque la dérivée d'une constante est nulle. Deux primitives d'une même fonction diffèrent donc exactement d'une constante — ce qui permet, quand l'énoncé impose une condition comme $F (0) = 2$ , de déterminer cette constante et d'obtenir la primitive cherchée.
2. $F^{'} = f sur I ⟹ toute primitive s’ \overset{e}{ˊ} crit F + C$
3. Les primitives usuelles : la table des dérivées, lue de droite à gauche.
4. On remonte terme à terme : $x^{2}$ vient de $\frac{x ^{3}}{3}$ , donc $3 x^{2}$ vient de $x^{3}$ .
5. De même $- 4 x$ vient de $- 2 x^{2}$ , et 5 vient de $5 x$ .
6. On impose la condition en calculant $F (1)$ .
7. Il faut donc $4 + C = 0$ .
8. $F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$
9. Trois formes composées reviennent sans cesse, et ce sont les seules à connaître au-delà de la table. $u^{'} e^{u}$ a pour primitive $e^{u}$ ; $\frac{u ^{'}}{u}$ a pour primitive $ln ∣ u ∣$ ; $u^{'} u^{n}$ a pour primitive $\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ . On les reconnaît à un signe : la dérivée de l'intérieur est déjà là, en facteur. Quand elle n'y est qu'à une constante près, on l'y met en multipliant et divisant — pour $\int 2 x e^{x^{2}}$ , la dérivée de $x^{2}$ est $2 x$ , elle y est : la primitive est $e^{x^{2}}$ .
10. $\int u^{'} e^{u} = e^{u}; \int \frac{u ^{'}}{u} = ln ∣ u ∣; \int u^{'} u^{n} = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$
11. Théorème fondamental du calcul. Si $f$ est continue sur $[a; b]$ et si $F$ en est une primitive, alors $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ , quantité qu'on note $[F (x)]_{a}^{b}$ . La constante disparaît dans la soustraction : c'est pourquoi on n'écrit pas de $+ C$ dans un calcul d'intégrale définie. Le résultat est un nombre, et non une fonction — confondre les deux est l'erreur de vocabulaire la plus fréquente du chapitre.
12. $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$
13. Trois propriétés servent constamment. La linéarité : $\int (α f + β g) = α \int f + β \int g$ , ce qui autorise à découper une somme et à sortir les constantes. La relation de Chasles : $\int_{a}^{c} = \int_{a}^{b} + \int_{b}^{c}$ , qui permet de couper un intervalle là où la fonction change de signe. Et la positivité : si $f \geq 0$ sur $[a; b]$ avec $a \leq b$ , alors l'intégrale est positive — d'où, par différence, la conservation de l'ordre entre deux fonctions.
14. $\int_{a}^{c} f = \int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f$
15. Sous l'axe, l'intégrale compte négativement : l'aire géométrique demande un découpage.
16. Sur $[0; 2]$ , $f$ est positive — somme de deux termes positifs : l'intégrale donnera bien l'aire.
17. Une primitive est $F (x) = x^{3} + x^{2}$ .
18. On évalue en 2.
19. Puis en 0, et l'on soustrait.
20. L'aire vaut 12 unités d'aire.
21. Quand l'intégrande est un produit dont aucune primitive n'est connue, la formule d'intégration par parties échange une intégrale contre une autre, en espérant qu'elle soit plus simple. Elle est la traduction, en termes d'intégrales, de la dérivée d'un produit. Elle sert typiquement pour $x e^{x}$ , $x sin x$ ou $ln x$ — ce dernier en posant $u = ln x$ et $v^{'} = 1$ , ce qui paraît étrange et fonctionne parfaitement.
22. $\int_{a}^{b} u v^{'} = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v$
23. Poser $u$ la partie qui se simplifie en dérivant : un polynôme perd un degré, un $ln$ devient une fraction rationnelle. C'est le critère décisif.
24. Poser $v^{'}$ la partie dont on sait trouver une primitive : $e^{x}$ , $sin x$ , une puissance.
25. Écrire les quatre quantités $u$ , $u^{'}$ , $v^{'}$ , $v$ dans un tableau avant d'appliquer la formule — c'est la seule façon de ne pas confondre $u^{'} v$ et $u v^{'}$ .
26. Vérifier que la nouvelle intégrale est plus simple. Si elle est pire, le choix de $u$ et $v^{'}$ était inversé : recommencer en les échangeant.
27. On pose $u = x$ — qui se simplifie en dérivant — et $v^{'} = e^{x}$ , d'où $u^{'} = 1$ et $v = e^{x}$ .
28. La formule donne $[x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x$ .
29. Le crochet vaut $1 \times e^{1} - 0 = e$ , et la nouvelle intégrale $[e^{x}]_{0}^{1} = e - 1$ .
30. On soustrait : $e - (e - 1)$ .
31. $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = 1$
32. La valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$ est $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ . Géométriquement, c'est la hauteur du rectangle de base $[a; b]$ qui aurait la même aire que le domaine sous la courbe : on aplatit la courbe sans changer l'aire. C'est la notion qui donne un sens physique à l'intégrale — température moyenne d'une journée, vitesse moyenne d'un trajet, puissance moyenne d'un signal.
33. $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$
34. On calcule d'abord l'intégrale, avec la primitive $10 t + \frac{t ^{2}}{2}$ .
35. En 12 : $10 \times 12 + 72$ , et la valeur en 0 est nulle.
36. On divise par la longueur de l'intervalle.
37. Contrôle : la fonction étant affine, la moyenne doit être celle des valeurs aux bornes.
38. Température moyenne de 16 °C.