Quiz — Intégration — Primitive et intégrale définie

Question 1

Un coureur à pied accélère après le départ. Sa vitesse est donnée par $v(t) = 5e^{0.2t}$ m/s pour $t \in [0;10]$. On souhaite calculer la distance parcourue entre $t=0$ et $t=10$. Quelle primitive $F$ de $v$ permet de calculer cette distance ?

Accepted Answer

$F(t) = \frac{5}{0.2}e^{0.2t} = 25e^{0.2t}$

Answer

$F(t) = 25e^{0.2t}$

Answer

$F(t) = 5e^{0.2t}$

Answer

$F(t) = \frac{e^{0.2t + 1}}{0.2}$

Question 2

Lors d'un saut à la perche, un athlète atteint une hauteur maximale de $6$ m. Son trajet ascendant puis descendant est modélisé par la fonction $k(t) = 6\sin(\frac{\pi}{2}t)$ où $t$ est le temps en secondes. On souhaite calculer la distance parcourue par l'athlète entre $t=0$ s et $t=1$ s, donnée par $\int_0^1 |k(t)| dt$. Pourquoi doit-on utiliser la valeur absolue dans cette intégrale ?

Accepted Answer

Car la distance est toujours positive, contrairement à la hauteur qui peut être négative.

Answer

Pour tenir compte de la symétrie de la fonction sinus.

Answer

Pour éviter que l'intégrale ne soit nulle entre $0$ et $1$.

Answer

Car la fonction $k$ n'est pas continue sur l'intervalle.

Question 3

Un pâtissier prépare une pâte à tarte en mélangeant de la farine et de l'eau. Il modélise la quantité d'eau absorbée par $100\ 	ext{g}$ de farine par une fonction $f(x) = 0.8x + 2$, où $x$ est la quantité de farine (en g) et $f(x)$ l'eau absorbée (en g). Il utilise $250\ 	ext{g}$ de farine. Quelle est la quantité d'eau totale $E$ absorbée par la farine ?

Accepted Answer

$E = f(250) = 0.8	imes 250 + 2 = 202\ 	ext{g}$

Answer

$E = \int_{0}^{250} f(x)\ dx = 25\ 100\ 	ext{g}$

Answer

$E = 250 	imes (0.8	imes 250 + 2) = 50\ 500\ 	ext{g}$

Answer

$E = f(250) 	imes 250 = 50\ 500\ 	ext{g}$

Question 4

Pour organiser une fête, on modélise le coût horaire en euros de la consommation électrique par la fonction $f$ définie sur $[0; 4]$ par $f(t) = 0.5t^2 + 2t + 1$. On souhaite calculer l'aire sous la courbe entre $t=0$ et $t=3$ heures pour estimer la dépense totale. Quelle primitive $F$ de $f$ doit-on utiliser pour calculer $\int_{0}^{3} f(t) \, dt$ ?

Accepted Answer

$F(t) = \frac{1}{6}t^3 + t^2 + t + C$

Answer

$F(t) = t^3 + 2t^2 + 3t + C$

Answer

$F(t) = 0.5t^3 + t^2 + t + C$

Answer

$F(t) = \frac{5}{6}t^3 + t^2 + t + C$

Question 5

Un pâtissier prépare une pâte dont la vitesse de levage (en mm/min) est modélisée par $v(t) = 3e^{0.2t}$ sur $[0; 5]$. Il veut connaître l'augmentation totale de volume (en mm³) sur cette période. Sachant que $V(t) = 15e^{0.2t}$ est une primitive de $v$, quelle est la valeur de $\int_{0}^{5} v(t) \, dt$ ?

Accepted Answer

$15(e - 1)$

Answer

$15(1 - e^{-1})$

Answer

$15e$

Answer

$15(e^2 - 1)$

Intégration — Primitive et intégrale définie

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