Pour organiser une fête, on modélise le coût horaire de location d'une salle (en €) par la fonction f(t) = 3t² + 2t + 5 où t est le temps en heures depuis l'ouverture. On souhaite calculer le coût total entre la 1ère et la 3ème heure. Une élève propose : $F(t) = t³ + t² + 5tpour primitive def$. Quel est le problème dans son calcul ?

Elle a oublié de diviser par les coefficients corrects : F(t) = t³ + 2/3t² + 5t.

Elle a dérivé au lieu de primitiver : F(t) = 6t + 2.

Elle a correctement trouvé une primitive F(t) = t³ + t² + 5t.

Elle a inversé les rôles des coefficients : F(t) = 3t³ + 2t² + 5t.

Pour organiser un événement, on modélise le débit d'eau (en L/min) d'une fontaine par q(t) = 4t - 0.5t² sur [0; 6]. On veut calculer le volume total d'eau écoulé entre t=1 et t=4 minutes. Parmi les méthodes suivantes, laquelle est correcte pour calculer ₁⁴ q(t) dt ?

On calcule une primitive Q(t) de q(t) puis on évalue Q(4) - Q(1)

On calcule directement q(4) - q(1) car q est linéaire

On utilise la formule de la valeur moyenne (q(1) + q(4))/2 × (4-1)

On intègre q(t) en utilisant la méthode d'intégration par parties

Un nageur effectue un 50m nage libre. Sa vitesse est donnée par v(t) = 2 + 0.5t m/s pour t ∈ [0;4]. On souhaite calculer la distance parcourue entre t=0 et t=4 en utilisant la méthode d'intégration par parties. On pose u(t) = t et v'(t) = 2 + 0.5t. Quelle expression obtient-on pour ₀⁴ t(2 + 0.5t) dt ?

[t(2t + (t²)/4)]₀⁴ - ₀⁴ (2t + (t²)/4) dt

[t(2 + 0.5t)]₀⁴ - ₀⁴ (2 + 0.5t) dt

₀⁴ (2 + 0.5t) dt + ₀⁴ t dt

[2t + (t²)/4]₀⁴ × ₀⁴ t dt

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Intégration — Primitive et intégrale définie

Programme en vigueur — arrêtés du 19 juillet 2019, applicable en Terminale depuis la rentrée 2020. Voir le texte

Primitive d'une fonction continue. Intégrale ∫_a^b f(x)dx. Théorème fondamental du calcul. Calcul d'aire sous une courbe. Intégration par parties. Valeur moyenne.

La règle d'or

L'intégration est la dérivation lue à l'envers : elle reconstitue une grandeur à partir de sa vitesse de variation.

L'erreur que tout le monde fait

Répondre qu'une aire vaut un nombre négatif.

Une aire est toujours positive ; l'intégrale, elle, compte négativement ce qui se trouve sous l'axe. Quand la fonction change de signe, l'intégrale donne un bilan algébrique où les deux parties se compensent : une intégrale nulle peut recouvrir une aire considérable.

Étudier le signe de la fonction avant d'intégrer. S'il change, couper l'intervalle par la relation de Chasles et prendre la valeur absolue de chaque morceau.

Télécharger la fiche A4 — Intégration — Primitive et intégrale définie Version à trous, pour se testerSans compte, sans adresse e-mail · exercices et corrigé plus bas.

Notions à maîtriser

primitive
intégrale
aire
théorème fondamental
valeur moyenne
intégration par parties

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Fiche de révision

Intégration : Primitive et intégrale définie

Intégration — Primitive et intégrale définie Définitions clés - Primitive : Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I. Exemple :

Lire la fiche

L'intégration est la dérivation lue à l'envers, et c'est ce renversement qui la rend puissante : elle permet de reconstituer une grandeur à partir de sa vitesse de variation. Connaissant le débit d'un fleuve heure par heure, elle donne le volume écoulé ; connaissant une vitesse, la distance parcourue. Le théorème fondamental établit ce lien, et transforme un calcul d'aire — problème géométrique vieux de deux mille ans — en une soustraction de deux valeurs.

1Primitives

Définition

primitive — Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ lorsque $F$ est dérivable sur $I$ et que $F^{'} = f$ . Toute fonction continue sur un intervalle en admet, et jamais une seule : si $F$ convient, alors $F + C$ convient aussi pour toute constante $C$ , puisque la dérivée d'une constante est nulle. Deux primitives d'une même fonction diffèrent donc exactement d'une constante — ce qui permet, quand l'énoncé impose une condition comme $F (0) = 2$ , de déterminer cette constante et d'obtenir la primitive cherchée.

F^{'} = f sur I ⟹ toute primitive s’ \overset{e}{ˊ} crit F + C

Les primitives usuelles : la table des dérivées, lue de droite à gauche.

Exemple

Déterminer la primitive $F$ de $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 5$ qui vérifie $F (1) = 0$ .

On remonte terme à terme : $x^{2}$ vient de $\frac{x ^{3}}{3}$ , donc $3 x^{2}$ vient de $x^{3}$ . $3 \div 3 = 1$
De même $- 4 x$ vient de $- 2 x^{2}$ , et 5 vient de $5 x$ . $4 \div 2 = 2$ $F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C$ .
On impose la condition en calculant $F (1)$ . $1 - 2 + 5 = 4$
Il faut donc $4 + C = 0$ . $0 - 4 = - 4$ $C = - 4$ ; une vérification par dérivation confirme le résultat.

$F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$

Propriété

Trois formes composées reviennent sans cesse, et ce sont les seules à connaître au-delà de la table. $u^{'} e^{u}$ a pour primitive $e^{u}$ ; $\frac{u ^{'}}{u}$ a pour primitive $ln ∣ u ∣$ ; $u^{'} u^{n}$ a pour primitive $\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ . On les reconnaît à un signe : la dérivée de l'intérieur est déjà là, en facteur. Quand elle n'y est qu'à une constante près, on l'y met en multipliant et divisant — pour $\int 2 x e^{x^{2}}$ , la dérivée de $x^{2}$ est $2 x$ , elle y est : la primitive est $e^{x^{2}}$ .

\int u^{'} e^{u} = e^{u}; \int \frac{u ^{'}}{u} = ln ∣ u ∣; \int u^{'} u^{n} = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}

2L'intégrale définie

Règle

Théorème fondamental du calcul. Si $f$ est continue sur $[a; b]$ et si $F$ en est une primitive, alors $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ , quantité qu'on note $[F (x)]_{a}^{b}$ . La constante disparaît dans la soustraction : c'est pourquoi on n'écrit pas de $+ C$ dans un calcul d'intégrale définie. Le résultat est un nombre, et non une fonction — confondre les deux est l'erreur de vocabulaire la plus fréquente du chapitre.

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Propriété

Trois propriétés servent constamment. La linéarité : $\int (α f + β g) = α \int f + β \int g$ , ce qui autorise à découper une somme et à sortir les constantes. La relation de Chasles : $\int_{a}^{c} = \int_{a}^{b} + \int_{b}^{c}$ , qui permet de couper un intervalle là où la fonction change de signe. Et la positivité : si $f \geq 0$ sur $[a; b]$ avec $a \leq b$ , alors l'intégrale est positive — d'où, par différence, la conservation de l'ordre entre deux fonctions.

\int_{a}^{c} f = \int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f

Sous l'axe, l'intégrale compte négativement : l'aire géométrique demande un découpage.

Piège

Répondre « l'aire vaut $- 2$ » à un calcul d'aire.

Pourquoi — une aire est toujours positive ; l'intégrale, elle, compte négativement ce qui est sous l'axe. Quand $f$ change de signe sur $[a; b]$ , l'intégrale donne un bilan algébrique où les deux parties se compensent, et non l'aire du domaine. Une fonction dont l'intégrale est nulle sur un intervalle peut y délimiter une aire considérable.

Le réflexe — étudier le signe de $f$ avant d'intégrer. S'il change, couper l'intervalle par la relation de Chasles et prendre la valeur absolue de chaque morceau.

Exemple

Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de $f (x) = 3 x^{2} + 2 x$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$ .

Sur $[0; 2]$ , $f$ est positive — somme de deux termes positifs : l'intégrale donnera bien l'aire. $3 \times 4 + 4 = 16$
Une primitive est $F (x) = x^{3} + x^{2}$ . $3 \div 3 = 1$
On évalue en 2. $8 + 4 = 12$
Puis en 0, et l'on soustrait. $12 - 0 = 12$ l'unité d'aire est celle du repère.

L'aire vaut 12 unités d'aire.

3Intégration par parties

Règle

Quand l'intégrande est un produit dont aucune primitive n'est connue, la formule d'intégration par parties échange une intégrale contre une autre, en espérant qu'elle soit plus simple. Elle est la traduction, en termes d'intégrales, de la dérivée d'un produit. Elle sert typiquement pour $x e^{x}$ , $x sin x$ ou $ln x$ — ce dernier en posant $u = ln x$ et $v^{'} = 1$ , ce qui paraît étrange et fonctionne parfaitement.

\int_{a}^{b} u v^{'} = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v

Choisir $u$ et $v'$

Poser $u$ la partie qui se simplifie en dérivant : un polynôme perd un degré, un $ln$ devient une fraction rationnelle. C'est le critère décisif.
Poser $v^{'}$ la partie dont on sait trouver une primitive : $e^{x}$ , $sin x$ , une puissance.
Écrire les quatre quantités $u$ , $u^{'}$ , $v^{'}$ , $v$ dans un tableau avant d'appliquer la formule — c'est la seule façon de ne pas confondre $u^{'} v$ et $u v^{'}$ .
Vérifier que la nouvelle intégrale est plus simple. Si elle est pire, le choix de $u$ et $v^{'}$ était inversé : recommencer en les échangeant.avec $u = e^{x}$ et $v^{'} = x$ pour $\int x e^{x}$ , on obtient une intégrale de degré 2 — le mauvais sens.

Exemple

Calculer $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ .

On pose $u = x$ — qui se simplifie en dérivant — et $v^{'} = e^{x}$ , d'où $u^{'} = 1$ et $v = e^{x}$ . $1 \times 1 = 1$
La formule donne $[x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x$ .
Le crochet vaut $1 \times e^{1} - 0 = e$ , et la nouvelle intégrale $[e^{x}]_{0}^{1} = e - 1$ . $1 - 0 = 1$
On soustrait : $e - (e - 1)$ . $1 - 1 + 1 = 1$ le résultat est exactement 1 — les deux $e$ se compensent.

$\int_{0}^{1} x e^{x} d x = 1$

4Valeur moyenne

Définition

valeur moyenne — La valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$ est $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ . Géométriquement, c'est la hauteur du rectangle de base $[a; b]$ qui aurait la même aire que le domaine sous la courbe : on aplatit la courbe sans changer l'aire. C'est la notion qui donne un sens physique à l'intégrale — température moyenne d'une journée, vitesse moyenne d'un trajet, puissance moyenne d'un signal.

μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

Exemple

La température d'une journée, en degrés, est modélisée sur $[0; 12]$ par $T (t) = 10 + t$ , où $t$ est le nombre d'heures depuis 6 h. Quelle est la température moyenne sur ces douze heures ?

On calcule d'abord l'intégrale, avec la primitive $10 t + \frac{t ^{2}}{2}$ . $144 \div 2 = 72$
En 12 : $10 \times 12 + 72$ , et la valeur en 0 est nulle. $120 + 72 = 192$
On divise par la longueur de l'intervalle. $192 \div 12 = 16$ la moyenne vaut 16 °C.
Contrôle : la fonction étant affine, la moyenne doit être celle des valeurs aux bornes. $\frac{10 + 22}{2} = 16$ $T (0) = 10$ et $T (12) = 22$ : les deux méthodes concordent.

Température moyenne de 16 °C.

▢Ai-je vérifié ma primitive en la dérivant ?
▢Pour une primitive avec condition, ai-je déterminé la constante $C$ ?
▢Ai-je étudié le signe de $f$ avant de parler d'aire ?
▢Si $f$ change de signe : ai-je découpé par la relation de Chasles ?
▢En intégration par parties : $u$ est-il bien la partie qui se simplifie ?
▢La nouvelle intégrale est-elle plus simple que celle de départ ?

L'essentiel en 7 points

· $F$ primitive de $f$ ⟺ $F^{'} = f$ — à vérifier en dérivant.
·Toute primitive s'écrit $F + C$ ; une condition détermine $C$ .
· $\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)$ : le résultat est un nombre.
·Chasles : $\int_{a}^{c} = \int_{a}^{b} + \int_{b}^{c}$ — pour couper où $f$ change de signe.
·Intégrale $\neq =$ aire dès que $f$ devient négative.
·IPP : $\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v$ ; $u$ est ce qui se simplifie en dérivant.
·Valeur moyenne : $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ — la hauteur du rectangle équivalent.

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Fiche PDF — Intégration — Primitive et intégrale définie

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Au sommaire du cours

1. Primitives
2. L'intégrale définie
3. Intégration par parties
4. Valeur moyenne

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Déterminer une primitive.

Calculer

a. $f (x) = 4 x^{3} - 6 x$
b. $g (x) = \frac{2}{x}$ sur $] 0; + \infty [$
c. $h (x) = e^{x} + cos x$

›Voir le corrigé

a. On remonte terme à terme : $4 x^{3}$ vient de $x^{4}$ . $4 \div 4 = 1$ $F (x) = x^{4} - 3 x^{2} + C$ .
b. $\frac{1}{x}$ a pour primitive $ln x$ , et la constante 2 se conserve. $2 \times 1 = 2$ $G (x) = 2 ln x + C$ .
c. L'exponentielle est sa propre primitive, et $cos$ donne $sin$ . $1 - 1 = 0$ $H (x) = e^{x} + sin x + C$ .

Calculer les intégrales.

Calculer

a. $\int_{0}^{2} (x^{2} + 1) d x$
b. $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$
c. $\int_{0}^{1} e^{x} d x$

›Voir le corrigé

a. Une primitive est $\frac{x ^{3}}{3} + x$ , qu'on évalue en 2. $8 \div 3 = 2.6666666666666665$
On ajoute 2 et l'on retranche la valeur en 0, qui est nulle. $2.6666666666666665 + 2 = 4.666666666666667$ soit $\frac{14}{3} \approx 4, 67$ .
b. Primitive $ln x$ , avec $ln e = 1$ et $ln 1 = 0$ . $1 - 0 = 1$ l'intégrale vaut exactement 1.
c. Primitive $e^{x}$ , donc $e^{1} - e^{0}$ . $1 - 0 = 1$ soit $e - 1 \approx 1, 72$ .

Primitive avec condition initiale.

Calculer

a.Trouver la primitive $F$ de $f (x) = 2 x + 3$ telle que $F (0) = 5$ .
b.Trouver la primitive $G$ de $g (x) = e^{x}$ telle que $G (0) = 0$ .

›Voir le corrigé

a. Les primitives s'écrivent $x^{2} + 3 x + C$ . $2 \div 2 = 1$
En 0, il ne reste que $C$ , qu'on identifie à 5. $0 + 0 + 5 = 5$ $F (x) = x^{2} + 3 x + 5$ .
b. Les primitives sont $e^{x} + C$ , et $e^{0} = 1$ . $0 - 1 = - 1$ $C = - 1$ , donc $G (x) = e^{x} - 1$ .

Primitives de formes composées.

Calculer

a. $f (x) = 2 x e^{x^{2}}$
b. $g (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
c. $h (x) = 3 (3 x + 1)^{4}$

›Voir le corrigé

a. $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ : la dérivée de l'intérieur est bien en facteur. $2 \times 1 = 2$ $F (x) = e^{x^{2}} + C$ .
b. $u = x^{2} + 1$ , $u^{'} = 2 x$ : c'est la forme $\frac{u ^{'}}{u}$ . $0 + 1 = 1$ $G (x) = ln (x^{2} + 1) + C$ — le dénominateur étant toujours positif, la valeur absolue est inutile.
c. $u = 3 x + 1$ , $u^{'} = 3$ : c'est la forme $u^{'} u^{4}$ . $4 + 1 = 5$ $H (x) = \frac{( 3 x + 1 ) ^{5}}{5} + C$ .

Aire et signe.

Raisonner

a.Calculer $\int_{- 1}^{1} x d x$ .
b.En déduire, sans nouveau calcul, que l'intégrale ne donne pas ici l'aire.
c.Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $x \mapsto x$ , l'axe et les droites $x = - 1$ et $x = 1$ .

›Voir le corrigé

a. Une primitive est $\frac{x ^{2}}{2}$ , qui prend la même valeur en $- 1$ et en 1. $0.5 - 0.5 = 0$ l'intégrale vaut 0.
b. Une aire nulle supposerait un domaine vide, ce qui n'est pas le cas : deux triangles existent bel et bien. $1 - 1 = 0$ les deux parts se compensent, l'une comptant négativement.
c. On coupe en 0, où $f$ change de signe, et l'on prend la valeur absolue de chaque morceau. $1 \div 2 = 0.5$
Chaque triangle a pour aire $\frac{1}{2}$ . $0.5 + 0.5 = 1$ l'aire totale vaut 1 unité d'aire.

Intégration par parties.

Calculer

a.Calculer $\int_{1}^{e} ln x d x$ , en posant $u = ln x$ et $v^{'} = 1$ .
b.Expliquer pourquoi ce choix de $u$ et $v^{'}$ est le bon.

›Voir le corrigé

a. $u = ln x$ donne $u^{'} = \frac{1}{x}$ ; $v^{'} = 1$ donne $v = x$ . $1 \times 1 = 1$
La formule donne $[x ln x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \times \frac{1}{x} d x$ , et le produit sous la nouvelle intégrale se simplifie en 1. $1 - 1 = 0$
Le crochet vaut $e ln e - 1 ln 1 = e$ , et la nouvelle intégrale $[x]_{1}^{e} = e - 1$ . $1 - 0 = 1$
On soustrait. $1 - 1 + 1 = 1$ le résultat vaut 1.
b. Dériver $ln x$ le transforme en fraction rationnelle qui se simplifie contre $v = x$ . $1 \div 1 = 1$ c'est le critère : $u$ est la partie qui se simplifie en dérivant.

Valeur moyenne. Soit $f(x) = x^{2}$ sur $[0\,;3]$.

Modéliser

a.Calculer $\int_{0}^{3} x^{2} d x$ .
b.En déduire la valeur moyenne de $f$ sur $[0; 3]$ .
c.Interpréter ce nombre géométriquement.

›Voir le corrigé

a. Une primitive est $\frac{x ^{3}}{3}$ , évaluée en 3. $27 \div 3 = 9$ l'intégrale vaut 9, la valeur en 0 étant nulle.
b. La longueur de l'intervalle vaut 3. $3 - 0 = 3$
On divise l'intégrale par cette longueur. $9 \div 3 = 3$ la valeur moyenne vaut 3.
c. C'est la hauteur du rectangle de base $[0; 3]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe. $3 \times 3 = 9$ $3 \times 3 = 9$ : on retrouve bien l'intégrale.

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Primitive juste, vérifiée par dérivation4 ptsPerdu si : Un coefficient oublié en remontant
Constante déterminée par la condition3 ptsPerdu si : Le $+C$ laissé indéterminé
Crochet évalué dans le bon ordre3 ptsPerdu si : $F(a) - F(b)$ au lieu de $F(b) - F(a)$
Signe de $f$ étudié avant de parler d'aire4 ptsPerdu si : Une aire annoncée négative
Choix de $u$ et $v'$ justifié3 ptsPerdu si : Une IPP qui complique l'intégrale
Valeur moyenne interprétée3 ptsPerdu si : Un nombre donné sans le rectangle équivalent

La méthode

Calculer l'aire délimitée par une courbe

1
Étudier le signe de la fonction sur l'intervalle demandé.
2
Découper l'intervalle aux points où ce signe change.
3
Chercher une primitive, puis la vérifier en la dérivant.
4
Calculer sur chaque morceau la différence des valeurs de la primitive aux bornes.
5
Additionner les valeurs absolues de ces différences.

Se tester

Touches 1 à 4

MathématiquesTerminale

Question 1

Pour organiser un événement, on modélise le coût marginal par la fonction

f(x) = 3x^2 - 2x + 1

pour

x

en dizaines de participants. On cherche à calculer le coût total d'ajout de 50 à 150 participants. Quelle primitive

F

f

permet de répondre à cette question ?

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Questions fréquentes

Intégration — Primitive et intégrale définie : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Terminale, année du Baccalauréat. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Intégration — Primitive et intégrale définie ?

Primitive d'une fonction continue. Intégrale ∫_a^b f(x)dx. Théorème fondamental du calcul. Calcul d'aire sous une courbe. Intégration par parties. Valeur moyenne. Les notions à maîtriser sont : primitive, intégrale, aire, théorème fondamental, valeur moyenne, intégration par parties.

Où télécharger la fiche PDF de Intégration — Primitive et intégrale définie ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 9 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Intégration — Primitive et intégrale définie est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Intégration — Primitive et intégrale définie peut-il tomber au Baccalauréat ?

Ce chapitre fait partie du programme officiel de Terminale, il entre donc dans le périmètre du Baccalauréat. Le sujet exact varie chaque année et aucun chapitre n'est garanti, mais l'ensemble du programme de l'année est susceptible d'être évalué : mieux vaut ne pas parier sur des impasses.

Comment réviser Intégration — Primitive et intégrale définie efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Intégration — Primitive et intégrale définie ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.