Fiche à trous · Terminale · Mathématiques

Fonction logarithme népérien — propriétés, équations et croissances comparées

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Le logarithme népérien répond à une question simple : à quelle puissance faut-il élever $e$ pour obtenir ce nombre ? De cette définition découle tout le chapitre, et notamment la propriété qui a fait sa fortune historique — il transforme les produits en sommes. Avant les calculatrices, c'est ce qui permettait de multiplier des nombres à sept chiffres ; aujourd'hui, c'est ce qui permet de résoudre une équation où l'inconnue est en exposant, ce qu'aucun autre outil du programme ne sait faire.

Définition et premières propriétés

Définition — logarithme népérien :

Propriété

Les propriétés algébriques

Règle

Piège

Écrire $ln (a + b) = ln a + ln b$ .

regarder ce qui sépare $a$ et $b$ à l'intérieur de la parenthèse. Si c'est un $+$ , aucune règle ne s'applique tant qu'on n'a pas factorisé.

Exemple

Écrire $A = ln 8 - 2 ln 4 + ln 32$ sous la forme $k ln 2$ .

Résultat :

Équations et inéquations

Résoudre une équation avec un logarithme

Exemple

Une population double chaque année. Au bout de combien d'années aura-t-elle été multipliée par plus de 1 000 ?

Résultat :

Croissances comparées

Propriété

La lenteur du logarithme n'est pas une image : $ln 1000 \approx 6, 9$ , et $ln$ d'un milliard vaut à peine 20,7. C'est précisément ce qui le rend utile pour représenter des grandeurs qui s'étalent sur plusieurs ordres — magnitudes des séismes, décibels, pH. Une échelle logarithmique transforme des multiplications par dix en pas réguliers, et rend lisible sur une même feuille ce qui va de 1 à un million.

Ai-je posé la condition d'existence avant de calculer, et non après ?
Ai-je vérifié que chaque solution la respecte ?
Ai-je bien laissé $ln (a + b)$ tel quel, faute de règle applicable ?
Pour une inéquation : ai-je gardé le sens, $ln$ étant croissante ?
Pour une inconnue en exposant, ai-je pensé à passer au logarithme ?
Dans une forme indéterminée avec $ln$ , ai-je invoqué les croissances comparées ?

Corrigé · à détacher

Fonction logarithme népérien — propriétés, équations et croissances comparées

1. La fonction logarithme népérien, notée $ln$ , est définie sur $] 0; + \infty [$ comme la fonction réciproque de l'exponentielle : $ln x = y$ signifie exactement $e^{y} = x$ . C'est aussi l'unique primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ qui s'annule en 1 — les deux définitions décrivent la même fonction, et la seconde explique pourquoi sa dérivée est si simple. Elle n'existe pas pour $x \leq 0$ : aucune puissance de $e$ ne donne un nombre négatif.
2. $ln x = y ⟺ e^{y} = x (x > 0)$
3. Trois valeurs et un signe suffisent à contrôler tout calcul. $ln 1 = 0$ , puisque $e^{0} = 1$ ; $ln e = 1$ ; et la fonction est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ , de dérivée $\frac{1}{x}$ , positive. Il en résulte que $ln x > 0$ exactement quand $x > 1$ , et $ln x < 0$ quand $0 < x < 1$ . La croissance est stricte, donc $ln a = ln b$ équivaut à $a = b$ : c'est ce qui autorise à « simplifier par $ln$ » des deux côtés d'une équation.
4. $ln 1 = 0; ln e = 1; (ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
5. La courbe de ln, et sa symétrie avec celle de l'exponentielle.
6. Le logarithme abaisse d'un cran chaque opération : le produit devient une somme, le quotient une différence, la puissance un produit. Ces trois règles ne valent que pour des nombres strictement positifs, et c'est la première chose à vérifier avant de les appliquer. Deux cas particuliers en découlent sans rien de neuf : $ln \frac{1}{a} = - ln a$ , qui est la règle de la puissance avec $n = - 1$ , et $ln a = \frac{1}{2} ln a$ , la même avec $n = \frac{1}{2}$ .
7. $ln (ab) = ln a + ln b; ln \frac{a}{b} = ln a - ln b; ln (a^{n}) = n ln a$
8. Les trois règles, et la somme qui ne se simplifie pas.
9. On exprime chaque nombre comme une puissance de 2.
10. De même pour 4 et 32.
11. La règle de la puissance donne $A = 3 ln 2 - 2 \times 2 ln 2 + 5 ln 2$ .
12. On additionne les coefficients.
13. $A = 4 ln 2$
14. Poser la condition d'existence avant tout : chaque expression sous un $ln$ doit être strictement positive. Cette condition définit l'intervalle dans lequel on cherchera, et elle se pose d'abord, pas à la fin pour vérifier.
15. Rassembler en un seul logarithme de chaque côté, avec les trois règles. Une équation $ln A = ln B$ se ramène alors à $A = B$ , la fonction étant strictement croissante.
16. Ou revenir à l'exponentielle quand un seul membre porte un $ln$ : $ln x = k$ équivaut à $x = e^{k}$ .
17. Confronter les solutions à la condition d'existence et écarter celles qui n'y satisfont pas.
18. Pour une inéquation, le sens ne change jamais : $ln A < ln B$ équivaut à $A < B$ , parce que $ln$ est croissante. C'est le seul point où elle est plus commode que les inéquations du second degré.
19. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $2^{n} > 1000$ .
20. On passe au logarithme, ce qui fait descendre l'exposant : $n ln 2 > ln 1000$ .
21. D'où $n > \frac{ln 1000}{ln 2} \approx 9, 97$ : le premier entier qui convient est 10.
22. On vérifie des deux côtés.
23. Au bout de 10 ans.
24. Le logarithme tend vers $+ \infty$ , mais moins vite que n'importe quelle puissance de $x$ . C'est ce que disent les limites de croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ et $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ . Elles lèvent les formes indéterminées $\frac{\infty}{\infty}$ et $0 \times \infty$ où $ln$ apparaît, et la règle se retient en une phrase : dans un affrontement entre $ln$ et une puissance, la puissance gagne toujours.
25. $lim_{x \to + \infty} \frac{l n x}{x} = 0; lim_{x \to 0^{+}} x ln x = 0$