Fonction logarithme népérien

logarithme népérien — La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $]0;+\infty [$ comme la fonction réciproque de l'exponentielle : $\ln x=y$ signifie exactement ${\mathrm{e}}^y=x$. C'est aussi l'unique primitive de $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty [$ qui s'annule en 1 — les deux définitions décrivent la même fonction, et la seconde explique pourquoi sa dérivée est si simple. Elle n'existe pas pour $x\le 0$ : aucune puissance de $e$ ne donne un nombre négatif.

Trois valeurs et un signe suffisent à contrôler tout calcul. $\ln 1=0$, puisque ${\mathrm{e}}^0=1$ ; $\ln \mathrm{e}=1$ ; et la fonction est strictement croissante sur $]0;+\infty [$, de dérivée $\frac{1}{x}$, positive. Il en résulte que $\ln x>0$ exactement quand $x>1$, et $\ln x<0$ quand $0<x<1$. La croissance est stricte, donc $\ln a=\ln b$ équivaut à $a=b$ : c'est ce qui autorise à « simplifier par $\ln$ » des deux côtés d'une équation.

Le logarithme abaisse d'un cran chaque opération : le produit devient une somme, le quotient une différence, la puissance un produit. Ces trois règles ne valent que pour des nombres strictement positifs, et c'est la première chose à vérifier avant de les appliquer. Deux cas particuliers en découlent sans rien de neuf : $\ln \frac{1}{a}=-\ln a$, qui est la règle de la puissance avec $n=-1$, et $\ln \sqrt{a}=\frac{1}{2}\ln a$, la même avec $n=\frac{1}{2}$.

Écrire $A=\ln 8-2\ln 4+\ln 32$ sous la forme $k\ln 2$.

1. On exprime chaque nombre comme une puissance de 2.$2^3=8$
2. De même pour 4 et 32.$2^5=32$$4=2^2$ et $32=2^5$.
3. La règle de la puissance donne $A=3\ln 2-2\times 2\ln 2+5\ln 2$.$2\times 2=4$
4. On additionne les coefficients.$3-4+5=4$

$A=4\ln 2$

Résoudre une équation avec un logarithme

1. Poser la condition d'existence avant tout : chaque expression sous un $\ln$ doit être strictement positive. Cette condition définit l'intervalle dans lequel on cherchera, et elle se pose d'abord, pas à la fin pour vérifier.
2. Rassembler en un seul logarithme de chaque côté, avec les trois règles. Une équation $\ln A=\ln B$ se ramène alors à $A=B$, la fonction étant strictement croissante.
3. Ou revenir à l'exponentielle quand un seul membre porte un $\ln$ : $\ln x=k$ équivaut à $x={\mathrm{e}}^k$.
4. Confronter les solutions à la condition d'existence et écarter celles qui n'y satisfont pas.c'est l'étape que les copies sautent, et elle fait perdre des points même quand le calcul est juste : une solution négative peut apparaître, elle n'est pas recevable.
5. Pour une inéquation, le sens ne change jamais : $\ln A<\ln B$ équivaut à $A<B$, parce que $\ln$ est croissante. C'est le seul point où elle est plus commode que les inéquations du second degré.

Une population double chaque année. Au bout de combien d'années aura-t-elle été multipliée par plus de 1 000 ?

1. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $2^n>1000$.$2^9=512$
2. On passe au logarithme, ce qui fait descendre l'exposant : $n\ln 2>\ln 1000$.$\ln$ étant croissante, l'inégalité garde son sens.
3. D'où $n>\frac{\ln 1000}{\ln 2}\approx 9,97$ : le premier entier qui convient est 10.$9+1=10$
4. On vérifie des deux côtés.$2^{10}=1024$$2^{10}=1024>1000$ et $2^9=512<1000$ : c'est bien le premier rang.

Au bout de 10 ans.

Le logarithme tend vers $+\infty$, mais moins vite que n'importe quelle puissance de $x$. C'est ce que disent les limites de croissances comparées : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$. Elles lèvent les formes indéterminées $\frac{\infty }{\infty }$ et $0\times \infty$ où $\ln$ apparaît, et la règle se retient en une phrase : dans un affrontement entre $\ln$ et une puissance, la puissance gagne toujours.