Quiz — Fonction logarithme népérien

Question 1

Lors d'une sortie extravéhiculaire, l'astronaute Nina mesure la température $T$ (en K) à la surface d'un astéroïde en fonction de la profondeur $x$ (en mètres). Elle observe que $T(x) = 200 + 300 \ln(1 + 0.1x)$. Elle veut savoir à quelle profondeur la température atteint $500$ K. Elle propose de résoudre $200 + 300 \ln(1 + 0.1x) = 500$ et calcule $x = 9$ m. Pourquoi cette solution est-elle incorrecte et quelle est la bonne valeur de $x$ ?

Accepted Answer

La solution correcte est $x = 10(e - 1)$ m car l'équation $200 + 300 \ln(1 + 0.1x) = 500$ donne $300 \ln(1 + 0.1x) = 300$, donc $\ln(1 + 0.1x) = 1$, soit $1 + 0.1x = e$, d'où $x = 10(e - 1)$.

Answer

La solution est correcte : $x = 9$ m car en résolvant $300 \ln(1 + 0.1x) = 300$, on obtient $\ln(1 + 0.1x) = 1$, donc $1 + 0.1x = e$, soit $x = 10(e - 1) \approx 9$ m.

Answer

La solution correcte est $x = 9$ m car $\ln(1 + 0.1x) = 1$ donne $1 + 0.1x = e$, soit $x = 10(e - 1) \approx 9$ m. Nina a arrondi correctement.

Answer

La solution correcte est $x = 10(e - 1)$ mais Nina a oublié que $e \approx 2.718$, donc $x \approx 17.18$ m, pas 9 m.

Question 2

Un coureur de marathon maintient une vitesse constante de $15$ km/h. La consommation d'énergie $E$ en joules par kilomètre est donnée par $E(d) = 1000 + 50\ln(d + 1)$ où $d$ est la distance parcourue en kilomètres. Quelle est la consommation d'énergie pour les 5 premiers kilomètres ?

Accepted Answer

$E = 5000 + 250\ln(6)$ joules

Answer

$E = 5000 + 50\ln(5)$ joules

Answer

$E = 5000 + 250\ln(5)$ joules

Answer

$E = 1000 + 50\ln(5)$ joules

Question 3

On sait que $\ln(x) = -3$. Quelle est la valeur de $x$ ?

Accepted Answer

$x = e^{-3}$

Answer

$x = -e^3$

Answer

$x = -3e$

Answer

$x = \frac{1}{3e}$

Question 4

L'astronaute Tom observe la luminosité $L$ d'une supernova en fonction du temps $t$ (en jours) depuis son explosion. Il modélise cette luminosité par $L(t) = L_0 e^{-kt}$ où $L_0$ est la luminosité initiale et $k$ une constante positive. Il veut calculer le temps $t$ nécessaire pour que la luminosité soit divisée par $e^3$. Il écrit l'équation $L_0 e^{-kt} = \frac{L_0}{e^3}$ et propose $t = 3k$. Pourquoi cette solution est-elle incorrecte et quelle est la bonne valeur de $t$ ?

Accepted Answer

La solution correcte est $t = \frac{3}{k}$ car l'équation à résoudre est $L_0 e^{-kt} = \frac{L_0}{e^3}$, ce qui donne $e^{-kt} = e^{-3}$, donc $-kt = -3$, soit $t = \frac{3}{k}$. Tom a inversé le rapport.

Answer

La solution est correcte : $t = 3k$ car en simplifiant $L_0 e^{-kt} = \frac{L_0}{e^3}$, on obtient $e^{-kt} = e^{-3}$, donc $-kt = -3$, soit $t = \frac{3}{k}$.

Answer

La solution correcte est $t = k^3$ car l'équation $L_0 e^{-kt} = \frac{L_0}{e^3}$ donne $e^{-kt} = e^{-3}$, donc $-kt = -3$, soit $k^3 = 3$ et $t = 3/k^3$.

Answer

La solution est correcte : $t = 3k$ car l'équation $L_0 e^{-kt} = \frac{L_0}{e^3}$ donne $e^{-kt} = e^{-3}$ et $-kt = -3$, donc $t = 3k$.

Question 5

La fonction $f$ définie par $f(x) = \ln(2x - 1)$ admet pour dérivée :

Accepted Answer

$f'(x) = \frac{2}{2x - 1}$

Answer

$f'(x) = \frac{1}{2x - 1}$

Answer

$f'(x) = \frac{1}{x}$

Answer

$f'(x) = \frac{1}{(2x - 1)^2}$

Fonction logarithme népérien

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