Fiche à trous · Terminale · Mathématiques

Loi normale — densité, règle 68-95-99,7 et intervalles

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Jusqu'ici, une variable aléatoire prenait des valeurs isolées qu'on pouvait énumérer. Une taille, une durée, une masse ne fonctionnent pas ainsi : entre 1,70 m et 1,71 m il y a une infinité de valeurs, et demander la probabilité d'une taille exactement égale à 1,70 m n'a pas de sens. Le passage au continu remplace donc la liste des probabilités par une aire sous une courbe — et parmi toutes ces courbes, une revient partout dès qu'un phénomène résulte de nombreuses causes indépendantes : la cloche.

Variables continues et densité

Définition — densité de probabilité :

Piège

Croire que $P (X = 1, 70) = 0$ signifie que cette taille est impossible.

une conséquence pratique et commode : les inégalités strictes et larges donnent le même résultat. $P (X < a)$ , $P (X \leq a)$ — c'est identique, et l'on n'a plus à se demander si la borne est incluse.

La loi normale

Définition — loi normale :

Propriété

Répondre à une question sur une loi normale

Exemple

Les scores à un test suivent la loi normale d'espérance 100 et d'écart-type 15. Quelle proportion de la population obtient entre 85 et 115 ? Et plus de 130 ?

Résultat :

Définition — loi normale centrée réduite :

Exemple

Un élève obtient 130 à un test de moyenne 100 et d'écart-type 15, et 62 à un autre de moyenne 50 et d'écart-type 8. Laquelle de ces deux performances est la plus rare ?

Résultat :

Pourquoi cette courbe-là, et pas une autre ? Parce qu'elle apparaît dès qu'une grandeur résulte de l'addition de nombreuses causes indépendantes, quelles que soient ces causes. La taille d'un adulte, l'erreur d'un instrument de mesure, le total de mille lancers de dé : chacune est une somme de petits effets, et chacune donne une cloche. C'est aussi pourquoi la loi binomiale s'en rapproche quand $n$ grandit — un histogramme de $B (100; 0, 5)$ est déjà une cloche à l'œil nu. La loi normale n'est pas un modèle parmi d'autres : c'est la forme vers laquelle les sommes convergent.

Fluctuation et confiance

Définition — intervalle de fluctuation :

Définition — intervalle de confiance :

Exemple

Un sondage sur 2 500 personnes donne 53 % d'intentions favorables. Peut-on affirmer, au niveau de confiance 95 %, que le candidat est majoritaire ?

Résultat :

La demi-amplitude $\frac{1}{n}$ explique une chose que les commentaires de sondages disent rarement : la précision progresse comme la racine de la taille de l'échantillon. Passer de 1 000 à 4 000 personnes ne divise pas la marge par quatre mais par deux. Interroger dix fois plus de monde ne rend le sondage que trois fois plus précis — voilà pourquoi les instituts s'arrêtent autour d'un millier de personnes, et pourquoi deux sondages qui « se contredisent » de deux points ne se contredisent pas du tout.

Ai-je écrit la loi avec $μ$ et l'écart-type $σ$ , non la variance ?
Ai-je vérifié si les bornes tombent sur $μ \pm σ$ , $\pm 2 σ$ ou $\pm 3 σ$ ?
Ai-je utilisé la symétrie pour répartir ce qui dépasse ?
Ai-je écrit la probabilité cherchée avant de donner le nombre ?
Fluctuation ou confiance : lequel des deux, $p$ ou $f$ , est connu ?
Ai-je conclu par une phrase dans le contexte, et non par un nombre seul ?

Corrigé · à détacher

Loi normale — densité, règle 68-95-99,7 et intervalles

1. Une variable aléatoire est continue lorsqu'elle prend toutes les valeurs d'un intervalle. Sa loi n'est plus donnée par un tableau mais par une fonction de densité $f$ , positive, dont l'aire totale sous la courbe vaut 1. La probabilité que $X$ tombe entre $a$ et $b$ est alors l'aire correspondante, c'est-à-dire une intégrale. Toutes les probabilités du chapitre sont donc des aires, et c'est ce qui relie ce chapitre à l'intégration.
2. $P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x; \int_{- \infty}^{+ \infty} f = 1$
3. Une variable suit la loi normale de paramètres $μ$ et $σ$ , notée $N (μ; σ^{2})$ , lorsque sa densité est la courbe en cloche centrée en $μ$ . Les deux paramètres se lisent directement dessus : $μ$ est l'espérance, c'est-à-dire l'axe de symétrie de la cloche, et $σ$ l'écart-type, qui mesure son étalement. Un $σ$ petit donne une cloche resserrée et haute — les valeurs sont concentrées autour de la moyenne ; un $σ$ grand l'aplatit.
4. $X \sim N (μ; σ^{2}) avec E (X) = μ et σ (X) = σ$
5. La règle 68 – 95 – 99,7 : ce que contiennent un, deux et trois écarts-types.
6. Trois valeurs suffisent à répondre de tête à la plupart des questions, et il faut les connaître. Environ 68 % des valeurs tombent entre $μ - σ$ et $μ + σ$ ; environ 95 % entre $μ - 2 σ$ et $μ + 2 σ$ ; environ 99,7 % entre $μ - 3 σ$ et $μ + 3 σ$ . La symétrie de la cloche donne le reste : $P (X \leq μ) = 0, 5$ , et ce qui dépasse d'un côté vaut exactement ce qui dépasse de l'autre. Ainsi $P (X > μ + 2 σ)$ vaut la moitié de $1 - 0, 95$ , soit 0,025.
7. $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0, 95$
8. Écrire la loi avec ses deux paramètres : « $X$ suit la loi normale d'espérance $μ = \dots$ et d'écart-type $σ = \dots$ ». L'écart-type, non la variance — c'est $σ$ qu'on emploie ensuite.
9. Traduire la question en inégalité : « au moins », « au plus », « entre ». Les bornes incluses ou non ne changent rien.
10. Chercher si les bornes sont à $μ \pm σ$ , $\pm 2 σ$ ou $\pm 3 σ$ . Si oui, la règle suffit et aucune calculatrice n'est nécessaire — l'énoncé l'attend souvent.
11. Sinon, utiliser la calculatrice, qui donne directement $P (a \leq X \leq b)$ . Pour $P (X > a)$ , prendre le complément à 1 ; pour $P (X < a)$ , borner à gauche par une valeur très petite.
12. Conclure dans le contexte, avec une phrase et un pourcentage arrondi.
13. On repère les bornes par rapport à $μ$ : $85 = 100 - 15$ et $115 = 100 + 15$ .
14. Ce sont exactement $μ \pm σ$ : la règle donne directement la réponse.
15. Pour 130 : $130 = 100 + 2 \times 15$ , soit $μ + 2 σ$ .
16. Hors de $μ \pm 2 σ$ , il reste 5 %, répartis également des deux côtés par symétrie.
17. On prend la moitié.
18. Environ 68 % entre 85 et 115 ; environ 2,5 % au-delà de 130.
19. La loi $N (0; 1)$ — espérance 0, écart-type 1 — est dite centrée réduite. Toute loi normale s'y ramène par le changement de variable $Z = \frac{X - μ}{σ}$ : on retranche la moyenne, puis on divise par l'écart-type. Le nombre obtenu, appelé score réduit, dit à combien d'écarts-types de la moyenne se situe la valeur — et c'est cette information, et non la valeur brute, qui mesure le caractère exceptionnel d'une observation.
20. $Z = \frac{X - μ}{σ} \sim N (0; 1)$
21. Les deux notes ne sont pas comparables telles quelles : les échelles diffèrent. On calcule les scores réduits.
22. Pour le premier test, on divise l'écart par l'écart-type.
23. Pour le second, l'écart vaut 12.
24. Puis le score réduit.
25. Le premier score est donc le plus exceptionnel, bien que 62 « paraisse » moins loin de 50 que 130 de 100.
26. Le 130 est la performance la plus rare : $z = 2$ contre $z = 1, 5$ .
27. On connaît la proportion $p$ dans la population, et l'on se demande ce que donnera un échantillon. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est $[p - \frac{1}{n}; p + \frac{1}{n}]$ : dans 95 % des échantillons de taille $n$ , la fréquence observée y tombe. Il sert à décider — une fréquence observée hors de cet intervalle jette le doute sur l'hypothèse $p$ , et c'est le principe de tout test statistique.
28. $I_{f} = [p - \frac{1}{n}; p + \frac{1}{n}]$
29. La situation inverse, et la plus fréquente : on ignore $p$ , on observe une fréquence $f$ sur un échantillon de taille $n$ , et l'on veut encadrer $p$ . L'intervalle de confiance au niveau 95 % est $[f - \frac{1}{n}; f + \frac{1}{n}]$ . La formule est la même, les rôles sont échangés — et c'est ce qui les fait confondre. Le sens de la phrase change du tout au tout : ici, c'est $p$ qui est inconnu, et l'intervalle qui est aléatoire.
30. $I_{c} = [f - \frac{1}{n}; f + \frac{1}{n}]$
31. On calcule la demi-amplitude, qui ne dépend que de la taille de l'échantillon.
32. Elle vaut donc 0,02.
33. La borne inférieure de l'intervalle de confiance :
34. Et la borne supérieure :
35. L'intervalle $[0, 51; 0, 55]$ ne contient pas 0,5.
36. Oui : $p \in [0, 51; 0, 55]$ , entièrement au-dessus de 50 %.