Probabilités — Variables aléatoires et loi normale

densité de probabilité — Une variable aléatoire est continue lorsqu'elle prend toutes les valeurs d'un intervalle. Sa loi n'est plus donnée par un tableau mais par une fonction de densité $f$, positive, dont l'aire totale sous la courbe vaut 1. La probabilité que $X$ tombe entre $a$ et $b$ est alors l'aire correspondante, c'est-à-dire une intégrale. Toutes les probabilités du chapitre sont donc des aires, et c'est ce qui relie ce chapitre à l'intégration.

loi normale — Une variable suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, notée $\mathcal{N}(\mu ;{\sigma }^2)$, lorsque sa densité est la courbe en cloche centrée en $\mu$. Les deux paramètres se lisent directement dessus : $\mu$ est l'espérance, c'est-à-dire l'axe de symétrie de la cloche, et $\sigma$ l'écart-type, qui mesure son étalement. Un $\sigma$ petit donne une cloche resserrée et haute — les valeurs sont concentrées autour de la moyenne ; un $\sigma$ grand l'aplatit.

Trois valeurs suffisent à répondre de tête à la plupart des questions, et il faut les connaître. Environ 68 % des valeurs tombent entre $\mu -\sigma$ et $\mu +\sigma$ ; environ 95 % entre $\mu -2\sigma$ et $\mu +2\sigma$ ; environ 99,7 % entre $\mu -3\sigma$ et $\mu +3\sigma$. La symétrie de la cloche donne le reste : $P(X\le \mu )=0,5$, et ce qui dépasse d'un côté vaut exactement ce qui dépasse de l'autre. Ainsi $P(X>\mu +2\sigma )$ vaut la moitié de $1-0,95$, soit 0,025.

Répondre à une question sur une loi normale

1. Écrire la loi avec ses deux paramètres : « $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu =\dots$ et d'écart-type $\sigma =\dots$ ». L'écart-type, non la variance — c'est $\sigma$ qu'on emploie ensuite.
2. Traduire la question en inégalité : « au moins », « au plus », « entre ». Les bornes incluses ou non ne changent rien.
3. Chercher si les bornes sont à $\mu \pm \sigma$, $\pm 2\sigma$ ou $\pm 3\sigma$. Si oui, la règle suffit et aucune calculatrice n'est nécessaire — l'énoncé l'attend souvent.
4. Sinon, utiliser la calculatrice, qui donne directement $P(a\le X\le b)$. Pour $P(X>a)$, prendre le complément à 1 ; pour $P(X<a)$, borner à gauche par une valeur très petite.on écrit toujours la probabilité cherchée avant de donner le nombre : c'est la traduction qui est notée, pas la touche pressée.
5. Conclure dans le contexte, avec une phrase et un pourcentage arrondi.

Les scores à un test suivent la loi normale d'espérance 100 et d'écart-type 15. Quelle proportion de la population obtient entre 85 et 115 ? Et plus de 130 ?

1. On repère les bornes par rapport à $\mu$ : $85=100-15$ et $115=100+15$.$100-15=85$
2. Ce sont exactement $\mu \pm \sigma$ : la règle donne directement la réponse.$100+15=115$environ 68 % de la population.
3. Pour 130 : $130=100+2\times 15$, soit $\mu +2\sigma$.$100+30=130$
4. Hors de $\mu \pm 2\sigma$, il reste 5 %, répartis également des deux côtés par symétrie.$1-0.95=0.05$
5. On prend la moitié.$0.05÷2=0.025$environ 2,5 % dépassent 130.

Environ 68 % entre 85 et 115 ; environ 2,5 % au-delà de 130.

loi normale centrée réduite — La loi $\mathcal{N}(0;1)$ — espérance 0, écart-type 1 — est dite centrée réduite. Toute loi normale s'y ramène par le changement de variable $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$ : on retranche la moyenne, puis on divise par l'écart-type. Le nombre obtenu, appelé score réduit, dit à combien d'écarts-types de la moyenne se situe la valeur — et c'est cette information, et non la valeur brute, qui mesure le caractère exceptionnel d'une observation.

Un élève obtient 130 à un test de moyenne 100 et d'écart-type 15, et 62 à un autre de moyenne 50 et d'écart-type 8. Laquelle de ces deux performances est la plus rare ?

1. Les deux notes ne sont pas comparables telles quelles : les échelles diffèrent. On calcule les scores réduits.$130-100=30$
2. Pour le premier test, on divise l'écart par l'écart-type.$30÷15=2$$z_1=2$ : deux écarts-types au-dessus de la moyenne.
3. Pour le second, l'écart vaut 12.$62-50=12$
4. Puis le score réduit.$12÷8=1.5$$z_2=1,5$ seulement.
5. Le premier score est donc le plus exceptionnel, bien que 62 « paraisse » moins loin de 50 que 130 de 100.$2-1.5=0.5$environ 2,5 % dépassent $z=2$, contre près de 7 % pour $z=1,5$.

Le 130 est la performance la plus rare : $z=2$ contre $z=1,5$.

intervalle de fluctuation — On connaît la proportion $p$ dans la population, et l'on se demande ce que donnera un échantillon. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ : dans 95 % des échantillons de taille $n$, la fréquence observée y tombe. Il sert à décider — une fréquence observée hors de cet intervalle jette le doute sur l'hypothèse $p$, et c'est le principe de tout test statistique.

intervalle de confiance — La situation inverse, et la plus fréquente : on ignore $p$, on observe une fréquence $f$ sur un échantillon de taille $n$, et l'on veut encadrer $p$. L'intervalle de confiance au niveau 95 % est $\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$. La formule est la même, les rôles sont échangés — et c'est ce qui les fait confondre. Le sens de la phrase change du tout au tout : ici, c'est $p$ qui est inconnu, et l'intervalle qui est aléatoire.

Un sondage sur 2 500 personnes donne 53 % d'intentions favorables. Peut-on affirmer, au niveau de confiance 95 %, que le candidat est majoritaire ?

1. On calcule la demi-amplitude, qui ne dépend que de la taille de l'échantillon.$\sqrt{2500}=50$
2. Elle vaut donc 0,02.$1÷50=0.02$
3. La borne inférieure de l'intervalle de confiance :$0.53-0.02=0.51$
4. Et la borne supérieure :$0.53+0.02=0.55$
5. L'intervalle $[0,51;0,55]$ ne contient pas 0,5.$0.51-0.5=0.010000000000000009$toutes les valeurs plausibles de $p$ dépassent 50 % : on peut conclure à la majorité, au niveau 95 %.

Oui : $p\in [0,51;0,55]$, entièrement au-dessus de 50 %.