Dérivation — Nombre dérivé et fonctions dérivées
1. Nombre dérivé : définition et interprétation
Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0 :
f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h
Interprétation géométrique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.
Exemple : Pour f(x) = x², calculons f'(2).
f'(2) = lim (h→0) [(2+h)² - 4]/h = lim (h→0) (4h + h²)/h = 4
La tangente en x=2 a pour équation y = 4x - 4.
2. Fonction dérivée : définition
La fonction dérivée f' associe à chaque x le nombre dérivé f'(x), si cette limite existe.
3. Dérivées des fonctions usuelles
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| x² | 2x | ℝ |
| xⁿ (n∈ℕ) | n·xⁿ⁻¹ | ℝ |
| 1/x | -1/x² | ℝ* |
| √x | 1/(2√x) | ℝ+* |
Exemple : f(x) = 3x⁴ + 2x - 5 ⇒ f'(x) = 12x³ + 2.
4. Opérations sur les dérivées
- Somme : (u + v)' = u' + v'
- Produit : (u·v)' = u'·v + u·v'
- Quotient : (u/v)' = (u'·v - u·v')/v² (v ≠ 0)
Exemple : f(x) = (2x + 1)(x² - 3) ⇒ f'(x) = 2(x² - 3) + (2x + 1)(2x) = 6x² + 2x - 6.
5. Applications
- Équation de la tangente : y = f'(a)(x - a) + f(a)
- Variations de f : f est croissante si f' ≥ 0, décroissante si f' ≤ 0.
Exemple : Pour f(x) = x³ - 3x, f'(x) = 3x² - 3. f est croissante sur ]-∞, -1[ ∪ ]1, +∞[ et décroissante sur ]-1, 1[.