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Fonctions du second degré : tout savoir !

Fiche de révision complète pour maîtriser Fonctions du second degré : tout savoir ! en Mathématiques — méthode, exemples et pièges à éviter.

Une fonction du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.

La forme canonique f(x) = a(x - α)² + β donne le sommet (α, β).

Le discriminant Δ = b² - 4ac détermine le nombre de racines.

La parabole est symétrique par rapport à l'axe x = -b/(2a).

Les variations dépendent du signe de a : croissante puis décroissante ou inversement.

Fonctions du second degré

Une fonction du second degré est une fonction définie par une expression de la forme : f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0, b et c des nombres réels.

1. Forme canonique et vertex

La forme canonique permet d'identifier facilement le sommet (vertex) de la parabole : f(x) = a(x - α)² + β

α et β sont les coordonnées du sommet (α, β).
Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (minimum en β).
Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas (maximum en β).

Exemple : Pour f(x) = 2(x - 3)² - 5, le sommet est en (3, -5).

2. Variations et tableau de signes

Sens de variation : dépend du signe de a.
- Si a > 0 : décroissante puis croissante.
- Si a < 0 : croissante puis décroissante.
Tableau de signes : dépend des racines (voir partie 3).

3. Racines et factorisation

Les racines (solutions de f(x) = 0) sont données par la formule : x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

Discriminant Δ = b² - 4ac :
- Δ > 0 : 2 racines réelles distinctes.
- Δ = 0 : 1 racine double.
- Δ < 0 : pas de racine réelle.

Exemple : Pour f(x) = x² - 5x + 6, Δ = 1 > 0. Les racines sont x = 2 et x = 3.

4. Représentation graphique

Parabole : courbe symétrique par rapport à l'axe vertical passant par le sommet.
Axe de symétrie : x = -b/(2a).
Ordonnée à l'origine : f(0) = c.

5. Applications

Résolution d'équations et inéquations.
Optimisation (maximiser/minimiser une quantité).
Modélisation de phénomènes physiques (trajectoires, etc.).

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Question 1

Un magasin vend des lampes dont la recette mensuelle (en centaines d'euros) est modélisée par

R(x) = -x^2 + 10x

, où

x

est le prix de vente unitaire en dizaines d'euros. On sait que la recette est nulle pour

x = 0

x = 10

. Quelle est la valeur de

x

pour laquelle la recette est maximale ?

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Questions fréquentes

Fonctions du second degré : tout savoir ! : à quel niveau ce cours correspond-il ?

Cette fiche couvre le programme de Mathématiques en Première, d'après le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale.

Comment utiliser cette fiche de révision ?

Lis-la en entier une première fois sans chercher à retenir, puis relis uniquement la méthode et le piège classique. Enchaîne ensuite sur le quiz en bas de page : c'est en te trompant sur une question, et en lisant pourquoi, que la notion se fixe. Relire une fiche trois fois de suite donne l'impression de savoir, sans le savoir.

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