Fonctions du second degré

Une fonction du second degré est une fonction définie par une expression de la forme : f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0, b et c des nombres réels.

1. Forme canonique et vertex

La forme canonique permet d'identifier facilement le sommet (vertex) de la parabole : f(x) = a(x - α)² + β

• α et β sont les coordonnées du sommet (α, β).
• Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (minimum en β).
• Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas (maximum en β).

Exemple : Pour f(x) = 2(x - 3)² - 5, le sommet est en (3, -5).

2. Variations et tableau de signes

• Sens de variation : dépend du signe de a.
  • Si a > 0 : décroissante puis croissante.
  • Si a < 0 : croissante puis décroissante.
• Tableau de signes : dépend des racines (voir partie 3).

3. Racines et factorisation

Les racines (solutions de f(x) = 0) sont données par la formule : x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

• Discriminant Δ = b² - 4ac :
  • Δ > 0 : 2 racines réelles distinctes.
  • Δ = 0 : 1 racine double.
  • Δ < 0 : pas de racine réelle.

Exemple : Pour f(x) = x² - 5x + 6, Δ = 1 > 0. Les racines sont x = 2 et x = 3.

4. Représentation graphique

• Parabole : courbe symétrique par rapport à l'axe vertical passant par le sommet.
• Axe de symétrie : x = -b/(2a).
• Ordonnée à l'origine : f(0) = c.

5. Applications

• Résolution d'équations et inéquations.
• Optimisation (maximiser/minimiser une quantité).
• Modélisation de phénomènes physiques (trajectoires, etc.).