Fonctions trigonométriques — sin, cos et tan
Définitions
Les fonctions sinus (sin), cosinus (cos) et tangente (tan) sont définies à partir d’un cercle trigonométrique de rayon 1 centré à l’origine. Pour un angle θ (en radians ou degrés) :
- sin(θ) = ordonnée du point M sur le cercle.
- cos(θ) = abscisse du point M sur le cercle.
- tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) (définie si cos(θ) ≠ 0).
Exemple : Pour θ = π/4 (45°), sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2 ≈ 0.707.
Propriétés clés
- Périodicité : Les fonctions sin et cos ont une période de 2π (360°), tan une période de π (180°).
- Exemple : sin(θ + 2π) = sin(θ).
- Parité :
- sin est impaire : sin(-θ) = -sin(θ).
- cos est paire : cos(-θ) = cos(θ).
- tan est impaire : tan(-θ) = -tan(θ).
- Valeurs remarquables : Mémorisez les valeurs pour θ = 0, π/6, π/4, π/3, π/2.
| Angle (rad) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | indéfini |
Équations trigonométriques
Résoudre sin(θ) = a ou cos(θ) = a dans [0 ; 2π] :
- Trouvez une solution θ₀ dans [0 ; π/2].
- Les autres solutions sont :
- sin(θ) = a ⇒ θ = θ₀ ou θ = π - θ₀.
- cos(θ) = a ⇒ θ = θ₀ ou θ = 2π - θ₀.
Exemple : Résoudre cos(θ) = 1/2 dans [0 ; 2π].
- Solution : θ = π/3 ou θ = 5π/3.
Dérivées
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (tan x)' = 1 + tan²x = 1/cos²x
Exemple : Dériver f(x) = sin(2x) ⇒ f'(x) = 2cos(2x).
Applications
- Modélisation de phénomènes périodiques (ondes, sons).
- Calculs de longueurs dans un triangle rectangle (théorème de Pythagore).
- Résolution de problèmes géométriques (angles, distances).