Géométrie dans l'espace
1. Les solides de l'espace
Les solides sont des figures en 3D. Les principaux sont :
- Le cube : 6 faces carrées, 12 arêtes, 8 sommets.
- Le parallélépipède rectangle : 6 faces rectangulaires, 12 arêtes.
- Le cylindre : 2 bases circulaires, 1 face latérale.
- Le cône : 1 base circulaire, 1 sommet.
- La sphère : surface courbe sans arêtes ni sommets.
2. Représentation en perspective
Pour dessiner un solide en 2D, on utilise la perspective cavalière :
- Les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles.
- Les arêtes perpendiculaires au plan de projection sont réduites (facteur de réduction souvent 0.5).
- Les angles droits ne sont pas toujours conservés.
3. Sections planes
Une section plane d'un solide est l'intersection du solide avec un plan. Exemples :
- Section d'un cube par un plan parallèle à une face : un carré.
- Section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base : un cercle.
- Section d'un cône par un plan parallèle à sa base : un cercle.
4. Calculs de volumes
Les formules à connaître :
- Cube : V = c³ (c = côté).
- Parallélépipède rectangle : V = L × l × h.
- Cylindre : V = π × r² × h.
- Cône : V = (1/3) × π × r² × h.
- Sphère : V = (4/3) × π × r³.
5. Aires latérales et totales
- Cube : Aire latérale = 4 × c², Aire totale = 6 × c².
- Cylindre : Aire latérale = 2 × π × r × h, Aire totale = 2 × π × r × (r + h).
- Cône : Aire latérale = π × r × a (a = génératrice), Aire totale = π × r × (r + a).
Exemple d'application
Calculer le volume d'un parallélépipède rectangle de dimensions 3 cm, 4 cm et 5 cm. V = 3 × 4 × 5 = 60 cm³.
Représenter un cube en perspective cavalière avec un côté de 2 cm (facteur de réduction 0.5).