Géométrie dans l'espace

1. Les solides de l'espace

Les solides sont des figures en 3D. Les principaux sont :

• Le cube : 6 faces carrées, 12 arêtes, 8 sommets.
• Le parallélépipède rectangle : 6 faces rectangulaires, 12 arêtes.
• Le cylindre : 2 bases circulaires, 1 face latérale.
• Le cône : 1 base circulaire, 1 sommet.
• La sphère : surface courbe sans arêtes ni sommets.

2. Représentation en perspective

Pour dessiner un solide en 2D, on utilise la perspective cavalière :

• Les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles.
• Les arêtes perpendiculaires au plan de projection sont réduites (facteur de réduction souvent 0.5).
• Les angles droits ne sont pas toujours conservés.

3. Sections planes

Une section plane d'un solide est l'intersection du solide avec un plan. Exemples :

• Section d'un cube par un plan parallèle à une face : un carré.
• Section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base : un cercle.
• Section d'un cône par un plan parallèle à sa base : un cercle.

4. Calculs de volumes

Les formules à connaître :

• Cube : V = c³ (c = côté).
• Parallélépipède rectangle : V = L × l × h.
• Cylindre : V = π × r² × h.
• Cône : V = (1/3) × π × r² × h.
• Sphère : V = (4/3) × π × r³.

5. Aires latérales et totales

• Cube : Aire latérale = 4 × c², Aire totale = 6 × c².
• Cylindre : Aire latérale = 2 × π × r × h, Aire totale = 2 × π × r × (r + h).
• Cône : Aire latérale = π × r × a (a = génératrice), Aire totale = π × r × (r + a).

Exemple d'application

Calculer le volume d'un parallélépipède rectangle de dimensions 3 cm, 4 cm et 5 cm. V = 3 × 4 × 5 = 60 cm³.

Représenter un cube en perspective cavalière avec un côté de 2 cm (facteur de réduction 0.5).