Probabilités — Loi binomiale

Définition

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une série de n épreuves indépendantes, chacune ayant une probabilité p de succès. On note X ~ B(n, p).

Conditions d'application

• Épreuves identiques et indépendantes (ex : lancer de pièce, tirage avec remise).
• Deux issues possibles : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1-p).
• Nombre d'épreuves fixe : n.

Formule clé

La probabilité d'obtenir k succès est donnée par :

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k)

• C(n, k) : nombre de combinaisons ("n parmi k"), calculé avec la calculatrice ou la formule : C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!)

Exemple concret

On lance un dé équilibré 10 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 fois le chiffre 6 ?

• n = 10, p = 1/6 (probabilité d'obtenir un 6).
• k = 3 (nombre de succès souhaités).
• Calcul : P(X=3) = C(10, 3) × (1/6)^3 × (5/6)^7 ≈ 0.155.

Espérance et écart-type

• Espérance : E(X) = n × p (nombre moyen de succès).
• Écart-type : σ(X) = √(n × p × (1-p)).

À retenir

• La loi binomiale est discrète (k est un entier).
• Pour n grand et p proche de 0.5, on peut approcher la loi binomiale par une loi normale (hors programme 1ère).
• Utilisez votre calculatrice pour calculer C(n, k) et les probabilités.