Suites numériques — Arithmétiques et géométriques

Définitions

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. On distingue deux types principaux :

• Suite arithmétique : chaque terme s'obtient en ajoutant une constante (la raison, notée r) au terme précédent.

  • Exemple : 3, 7, 11, 15... avec r = 4.
  • Formule : u_{n+1} = u_n + r ou u_n = u_0 + n × r.

• Suite géométrique : chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par une constante (la raison, notée q).

  • Exemple : 2, 6, 18, 54... avec q = 3.
  • Formule : u_{n+1} = u_n × q ou u_n = u_0 × q^n.

Propriétés clés

• Sens de variation :

  • Arithmétique : croissante si r > 0, décroissante si r < 0.
  • Géométrique : croissante si q > 1 et u_0 > 0, décroissante si 0 < q < 1 et u_0 > 0.

• Somme des termes :

  • Arithmétique : S_n = (n+1) × (u_0 + u_n)/2.
  • Géométrique : S_n = u_0 × (1 - q^{n+1})/(1 - q) (si q ≠ 1).

Exemple d'application

Soit la suite arithmétique définie par u_0 = 5 et r = -2.

• Calculer u_5 : u_5 = 5 + 5 × (-2) = -5.
• Calculer S_5 : S_5 = 6 × (5 + (-5))/2 = 0.

Soit la suite géométrique définie par u_0 = 1 et q = 2.

• Calculer u_4 : u_4 = 1 × 2^4 = 16.
• Calculer S_4 : S_4 = 1 × (1 - 2^5)/(1 - 2) = 31.

À retenir

• Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante.
• Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant.
• Les formules de somme dépendent du type de suite et de la raison.