Équations et inéquations — Premier et second degré
1. Équations du premier degré
Une équation du premier degré (ou linéaire) s'écrit sous la forme : ax + b = 0 où a et b sont des nombres réels (a ≠ 0).
Résolution :
- Isoler x : x = -b/a.
- Exemple : Résoudre 3x + 5 = 0 → x = -5/3.
Cas particuliers :
- Si a = 0 et b ≠ 0 : pas de solution (ex: 0x + 2 = 0).
- Si a = 0 et b = 0 : toutes les valeurs de x sont solutions (ex: 0x = 0).
2. Équations du second degré
Une équation du second degré s'écrit : ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Résolution :
- Calculer le discriminant Δ = b² - 4ac.
- Analyser Δ :
- Δ > 0 : 2 solutions réelles x1 = (-b - √Δ)/(2a) et x2 = (-b + √Δ)/(2a).
- Δ = 0 : 1 solution réelle x = -b/(2a).
- Δ < 0 : pas de solution réelle (solutions complexes).
Exemple : Résoudre x² - 5x + 6 = 0 → Δ = 25 - 24 = 1 → x1 = 2, x2 = 3.
3. Inéquations du premier degré
Une inéquation du premier degré s'écrit : ax + b > 0 (ou <, ≥, ≤).
Résolution :
- Isoler x en respectant le sens de l'inégalité.
- Attention : Si on multiplie/divise par un nombre négatif, inverser le sens de l'inégalité.
Exemple : Résoudre -2x + 4 > 0 → -2x > -4 → x < 2.
4. Inéquations du second degré
Une inéquation du second degré s'écrit : ax² + bx + c > 0 (ou <, ≥, ≤).
Méthode :
- Résoudre l'équation associée ax² + bx + c = 0 pour trouver les racines.
- Étudier le signe du trinôme en fonction des racines et du coefficient a.
- Conclure en fonction du sens de l'inégalité.
Exemple : Résoudre x² - 3x - 4 > 0 → racines : x1 = -1, x2 = 4. Solution : x < -1 ou x > 4.
5. Factorisation et identités remarquables
- Factoriser : ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) si Δ > 0.
- Identités : a² - b² = (a - b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b².
Exemple : Factoriser x² - 9 → (x - 3)(x + 3).