Introduction à la trigonométrie — Radian et cercle unité
1. Définition du radian
Le radian (symbole : rad) est une unité de mesure d’angle basée sur le cercle. 1 radian est l’angle qui intercepte un arc de cercle de longueur égale au rayon. La relation entre degrés et radians est :
- 180° = π radians (π ≈ 3,1416)
- Pour convertir :
- Degrés → Radians :
θ (rad) = θ (°) × (π/180) - Radians → Degrés :
θ (°) = θ (rad) × (180/π)
- Degrés → Radians :
Exemple : 90° = 90 × (π/180) = π/2 rad ≈ 1,57 rad.
2. Le cercle unité
Le cercle unité est un cercle de rayon 1 centré à l’origine d’un repère orthonormé. Tout point M sur ce cercle a pour coordonnées (cos θ, sin θ), où θ est l’angle entre l’axe des abscisses et le vecteur OM.
- cos θ = abscisse de M
- sin θ = ordonnée de M
- tan θ = sin θ / cos θ (si cos θ ≠ 0)
Exemple : Pour θ = π/4 rad (45°), M a pour coordonnées (√2/2, √2/2).
3. Relations trigonométriques fondamentales
- Pythagore :
cos² θ + sin² θ = 1 - Tangente :
tan θ = sin θ / cos θ - Angles associés :
- sin(π - θ) = sin θ
- cos(π - θ) = -cos θ
- sin(-θ) = -sin θ
- cos(-θ) = cos θ
Exemple : sin(3π/4) = sin(π - π/4) = sin(π/4) = √2/2.
4. Valeurs remarquables
| Angle (rad) | Angle (°) | cos θ | sin θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 1 | 0 | 0 |
| π/6 | 30° | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| π/4 | 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| π/3 | 60° | 1/2 | √3/2 | √3 |
| π/2 | 90° | 0 | 1 | — |
5. Applications
- Calculer des longueurs dans un triangle rectangle.
- Résoudre des équations trigonométriques simples.
- Modéliser des phénomènes périodiques (ondes, rotations).
Exemple : Dans un triangle rectangle ABC (angle droit en A), si AB = 3 et BC = 5, alors sin(B) = AC/BC → AC = 5 × sin(B).