Introduction à la trigonométrie — Radian et cercle unité

1. Définition du radian

Le radian (symbole : rad) est une unité de mesure d’angle basée sur le cercle. 1 radian est l’angle qui intercepte un arc de cercle de longueur égale au rayon. La relation entre degrés et radians est :

• 180° = π radians (π ≈ 3,1416)
• Pour convertir :
  • Degrés → Radians : θ (rad) = θ (°) × (π/180)
  • Radians → Degrés : θ (°) = θ (rad) × (180/π)

Exemple : 90° = 90 × (π/180) = π/2 rad ≈ 1,57 rad.

2. Le cercle unité

Le cercle unité est un cercle de rayon 1 centré à l’origine d’un repère orthonormé. Tout point M sur ce cercle a pour coordonnées (cos θ, sin θ), où θ est l’angle entre l’axe des abscisses et le vecteur OM.

• cos θ = abscisse de M
• sin θ = ordonnée de M
• tan θ = sin θ / cos θ (si cos θ ≠ 0)

Exemple : Pour θ = π/4 rad (45°), M a pour coordonnées (√2/2, √2/2).

3. Relations trigonométriques fondamentales

• Pythagore : cos² θ + sin² θ = 1
• Tangente : tan θ = sin θ / cos θ
• Angles associés :
  • sin(π - θ) = sin θ
  • cos(π - θ) = -cos θ
  • sin(-θ) = -sin θ
  • cos(-θ) = cos θ

Exemple : sin(3π/4) = sin(π - π/4) = sin(π/4) = √2/2.

4. Valeurs remarquables

5. Applications

• Calculer des longueurs dans un triangle rectangle.
• Résoudre des équations trigonométriques simples.
• Modéliser des phénomènes périodiques (ondes, rotations).

Exemple : Dans un triangle rectangle ABC (angle droit en A), si AB = 3 et BC = 5, alors sin(B) = AC/BC → AC = 5 × sin(B).