Probabilités — Modèles et calculs

1. Définitions clés

• Expérience aléatoire : Une expérience dont le résultat n’est pas prévisible à l’avance (ex : lancer un dé).
• Issue (ou éventualité) : Résultat possible d’une expérience (ex : obtenir 3 avec un dé).
• Événement : Ensemble d’issues (ex : "obtenir un nombre pair" avec un dé).
• Univers (Ω) : Ensemble de toutes les issues possibles.

2. Calcul de probabilités

La probabilité d’un événement A se note P(A) et se calcule par :

P(A) = (Nombre d’issues favorables à A) / (Nombre total d’issues)

Exemple : Probabilité d’obtenir un 4 avec un dé à 6 faces :

P(4) = 1/6 ≈ 0,1667 (soit 16,67%)

3. Règles fondamentales

• Probabilité d’un événement impossible : P(∅) = 0.
• Probabilité d’un événement certain : P(Ω) = 1.
• Probabilité d’un événement et son contraire : P(A) + P(¬A) = 1.
• Addition des probabilités : Si A et B sont incompatibles (ne peuvent pas se produire en même temps), alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

4. Modèles de probabilités

• Modèle équiprobable : Toutes les issues ont la même probabilité (ex : dé équilibré).
• Modèle non équiprobable : Les issues n’ont pas la même probabilité (ex : dé truqué).

Exemple : Lancer une pièce truquée avec P(Pile) = 0,7 et P(Face) = 0,3.

5. Arbres de probabilités

Les arbres permettent de visualiser les combinaisons d’événements. Chaque branche représente une issue possible avec sa probabilité.

Exemple : Lancer deux pièces équilibrées.

          Pile (0,5)
         /          \
     Pile (0,5)    Face (0,5)
    /      \        /      \
Pile   Face   Pile   Face

6. Probabilités conditionnelles

La probabilité d’un événement A sachant que B s’est produit se note P(A|B) et se calcule par :

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Exemple : Dans une classe, 60% des élèves sont des filles. 30% des filles portent des lunettes. Quelle est la probabilité qu’un élève choisi au hasard soit une fille portant des lunettes ?

P(Fille ∩ Lunettes) = P(Fille) × P(Lunettes|Fille) = 0,6 × 0,3 = 0,18

7. Exemple complet

Problème : On lance un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ou un nombre supérieur à 4 ?

• Événement A : "obtenir un nombre impair" → issues {1, 3, 5} → P(A) = 3/6 = 0,5.
• Événement B : "obtenir un nombre > 4" → issues {5, 6} → P(B) = 2/6 ≈ 0,333.
• Événement A ∩ B : "obtenir 5" → P(A ∩ B) = 1/6 ≈ 0,1667.

Solution : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,5 + 0,333 - 0,1667 ≈ 0,6663 (soit 66,63%).