Statistiques à une variable — Dispersion

1. Introduction

En statistiques, la dispersion mesure l’étalement des valeurs d’une série autour de sa moyenne. Contrairement à la tendance centrale (moyenne, médiane), elle indique si les données sont regroupées ou dispersées.

2. Les indicateurs de dispersion

a) L’étendue

Définition : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d’une série. Formule : Étendue = Max – Min. Exemple : Série {3, 5, 7, 9, 11} → Étendue = 11 – 3 = 8.

b) L’écart interquartile (EIQ)

Définition : Différence entre le 3ᵉ quartile (Q3) et le 1ᵉʳ quartile (Q1). Formule : EIQ = Q3 – Q1. Utilité : Moins sensible aux valeurs extrêmes que l’étendue. Exemple : Série {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} → Q1 = 3, Q3 = 8 → EIQ = 5.

c) L’écart-type (σ)

Définition : Mesure la moyenne des écarts entre chaque valeur et la moyenne de la série. Formule : σ = √(Σ(xi – μ)² / N), où μ est la moyenne et N le nombre de valeurs. Interprétation : Plus σ est grand, plus les données sont dispersées. Exemple : Série {2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9} → Moyenne μ = 5 → σ ≈ 2,0.

3. Comparaison des indicateurs

• Étendue : Simple mais sensible aux valeurs extrêmes.
• Écart interquartile : Robuste, ignore les 25% des valeurs les plus basses et hautes.
• Écart-type : Précis mais influencé par les valeurs extrêmes.

4. Cas pratique

Une classe a obtenu les notes suivantes : {8, 10, 12, 14, 16}.

• Étendue = 16 – 8 = 8.
• Moyenne μ = (8+10+12+14+16)/5 = 12.
• Écart-type σ ≈ 2,83. → Les notes sont assez regroupées autour de 12.

5. À retenir

La dispersion complète l’analyse des données. Selon le contexte, privilégiez l’étendue, l’EIQ ou l’écart-type pour décrire la variabilité.