Statistiques à une variable — Indicateurs de dispersion

1. Définitions clés

En statistiques, les indicateurs de dispersion mesurent l'étalement d'une série de données autour de sa tendance centrale (moyenne ou médiane). Contrairement aux indicateurs de position (moyenne, médiane), ils répondent à la question : "À quel point les données sont-elles regroupées ou dispersées ?".

2. L'étendue (E)

Définition : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d'une série. Formule : E = Max - Min Exemple : Série {3, 5, 7, 8, 12} → E = 12 - 3 = 9 Limite : L'étendue est sensible aux valeurs extrêmes (outliers).

3. L'écart interquartile (EIQ)

Définition : Différence entre le 3ème quartile (Q3) et le 1er quartile (Q1). Formule : EIQ = Q3 - Q1 Calcul :

• Ordonner la série.
• Q1 = valeur à 25% de la série, Q3 = valeur à 75%. Exemple : Série {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} → Q1 = 4, Q3 = 12 → EIQ = 12 - 4 = 8 Avantage : Moins sensible aux valeurs extrêmes que l'étendue.

4. La variance (σ²) et l'écart-type (σ)

Variance : Moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Formule : σ² = Σ(xi - μ)² / N (pour une population) Écart-type : Racine carrée de la variance → σ = √σ² Exemple : Série {1, 3, 5} → μ = 3 → σ² = [(1-3)² + (3-3)² + (5-3)²]/3 = (4+0+4)/3 ≈ 2,67 → σ ≈ 1,63 Interprétation : Plus σ est grand, plus les données sont dispersées.

5. Choix de l'indicateur

• Étendue : Rapide, mais peu robuste.
• Écart interquartile : Idéal pour les séries avec outliers.
• Écart-type : Précis, mais sensible aux valeurs extrêmes.

Astuce : Pour comparer des séries, privilégiez l'écart-type ou l'EIQ selon la présence d'outliers.

6. Application pratique

Problème : Comparer la dispersion des notes de deux classes :

• Classe A : {10, 12, 14, 16, 18} → μ = 14, σ ≈ 2,83
• Classe B : {8, 10, 14, 18, 20} → μ = 14, σ ≈ 4,47 → La classe B est plus dispersée (σ plus grand).