Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

Définition

Un système d'équations linéaires à deux inconnues est un ensemble de deux équations du premier degré avec deux variables (souvent x et y). On cherche les valeurs de x et y qui vérifient simultanément les deux équations.

Exemple :

2x + y = 5  (1)
x - 3y = -1 (2)

Méthodes de résolution

1. Méthode par substitution

• Étape 1 : Isoler une variable dans une équation. Exemple : De (1), on tire y = 5 - 2x.
• Étape 2 : Remplacer cette variable dans la 2ème équation. (2) devient : x - 3(5 - 2x) = -1 → x - 15 + 6x = -1 → 7x = 14 → x = 2.
• Étape 3 : Trouver l'autre variable avec la valeur trouvée. y = 5 - 2*2 = 1.
• Solution : (x, y) = (2, 1).

2. Méthode par combinaison (addition)

• Étape 1 : Multiplier les équations pour éliminer une variable. Exemple : Multiplier (1) par 3 : 6x + 3y = 15.
• Étape 2 : Ajouter ou soustraire les équations pour éliminer y. (6x + 3y) + (x - 3y) = 15 + (-1) → 7x = 14 → x = 2.
• Étape 3 : Remplacer x dans une équation pour trouver y. 2 + y = 5 → y = 3.

3. Méthode graphique

• Étape 1 : Tracer les deux droites dans un repère.
• Étape 2 : Le point d'intersection est la solution.

Cas particuliers

• Système incompatible : Les droites sont parallèles (pas de solution).
• Système indéterminé : Les droites sont confondues (infinité de solutions).

Exemple complet

Résoudre :

x + 2y = 7  (1)
3x - y = 11 (2)

Par substitution :

• De (1) : x = 7 - 2y.
• Remplacer dans (2) : 3(7 - 2y) - y = 11 → 21 - 6y - y = 11 → -7y = -10 → y = 10/7.
• Puis x = 7 - 2*(10/7) = 29/7. Solution : (29/7, 10/7).