Trigonométrie dans le triangle rectangle

Définitions clés

La trigonométrie étudie les relations entre les angles et les côtés d’un triangle rectangle. Dans un triangle rectangle, on distingue :

• L’hypoténuse : côté opposé à l’angle droit, le plus long.
• Le côté adjacent à un angle : côté qui forme l’angle avec l’hypoténuse.
• Le côté opposé à un angle : côté qui ne touche pas l’angle.

Les fonctions trigonométriques

Pour un angle α dans un triangle rectangle :

• sinus(α) = côté opposé / hypoténuse → sin(α) = opposé / hypotenuse
• cosinus(α) = côté adjacent / hypoténuse → cos(α) = adjacent / hypotenuse
• tangente(α) = côté opposé / côté adjacent → tan(α) = opposé / adjacent

Astuce : Pour retenir l’ordre, utilisez le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA :

• Sinus = Opposé / Hypoténuse
• Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
• Tangente = Opposé / Adjacent

Exemple d’application

Soit un triangle rectangle ABC avec angle droit en B. On donne : AB = 3 cm, BC = 4 cm. Calculons AC (hypoténuse) et les angles α (en B) et β (en C).

1. Calcul de AC : AC² = AB² + BC² (théorème de Pythagore) → AC² = 9 + 16 = 25 → AC = 5 cm.

2. Calcul de sin(α) : sin(α) = opposé / hypoténuse = BC / AC = 4 / 5 = 0.8. Donc α = arcsin(0.8) ≈ 53.13°.

3. Calcul de cos(β) : cos(β) = adjacent / hypoténuse = BC / AC = 4 / 5 = 0.8. Donc β = arccos(0.8) ≈ 36.87°.

Cas particuliers

• Angle de 30° : sin(30°) = 0.5, cos(30°) ≈ 0.866, tan(30°) ≈ 0.577.
• Angle de 45° : sin(45°) = cos(45°) ≈ 0.707, tan(45°) = 1.
• Angle de 60° : sin(60°) ≈ 0.866, cos(60°) = 0.5, tan(60°) ≈ 1.732.

Utilisation de la calculatrice

Pour trouver un angle à partir d’un rapport trigonométrique :

• Utilisez les touches arcsin, arccos ou arctan (ou sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹).
• Exemple : Si sin(α) = 0.6, alors α = arcsin(0.6) ≈ 36.87°.