Vecteurs, translations et repérage dans le plan
1. Définitions et vocabulaire
Un vecteur est défini par 3 caractéristiques :
- Une direction (droite porteuse)
- Un sens (flèche)
- Une longueur (norme, notée ||u||)
Exemple : Le vecteur u de A(1;2) vers B(4;5) se note u = AB. Sa norme se calcule avec Pythagore : ||AB|| = √[(4-1)² + (5-2)²] = √18.
2. Égalité de vecteurs
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.
Exemple : Si ABCD est un parallélogramme, alors AB = DC.
3. Translation
Une translation est définie par un vecteur. Appliquer une translation à un point M par le vecteur u revient à construire M' tel que MM' = u.
Exemple : Translation de M(2;3) par u(1;-2) donne M'(3;1).
4. Repérage dans le plan
Un repère est défini par :
- Une origine O
- Deux vecteurs non colinéaires i et j (généralement orthogonaux)
Coordonnées : Tout point M a des coordonnées (x;y) telles que OM = x·i + y·j.
5. Calculs avec les vecteurs
- Somme : u + v = (x_u + x_v ; y_u + y_v)
- Produit par un réel : k·u = (k·x_u ; k·y_u)
- Colinéarité : u et v colinéaires ⇔ ∃k tel que u = k·v
Exemple : u(2;3) + v(-1;4) = (1;7).
6. Applications
- Milieu d’un segment : I milieu de [AB] ⇔ AI = 1/2 AB
- Parallélisme : (AB) // (CD) ⇔ AB = k·CD
- Alignement : A, B, C alignés ⇔ AB = k·AC
Astuce : Utilisez toujours un schéma pour visualiser !