Fonctions linéaires et affines
1. Définitions
-
Fonction linéaire : Fonction de la forme f(x) = a × x où a est un nombre appelé coefficient directeur. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine (0,0). Exemple : f(x) = 2x (droite passant par (0,0) et (1,2)).
-
Fonction affine : Fonction de la forme f(x) = a × x + b où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Sa représentation graphique est une droite (pas forcément passant par l'origine). Exemple : f(x) = -3x + 4 (droite passant par (0,4) et (1,1)).
2. Représentation graphique
-
Coefficient directeur (a) : Détermine l'inclinaison de la droite.
- Si a > 0 : la droite monte (fonction croissante).
- Si a < 0 : la droite descend (fonction décroissante).
- Si a = 0 : la droite est horizontale (fonction constante).
-
Ordonnée à l'origine (b) : Point où la droite coupe l'axe des ordonnées (axe vertical).
Exemple : Pour f(x) = 0.5x - 2, la droite passe par (0,-2) et a une pente de 0.5.
3. Calcul d'image et d'antécédent
-
Image : Pour trouver f(x), on remplace x par sa valeur. Exemple : f(3) = 2 × 3 = 6 pour f(x) = 2x.
-
Antécédent : Pour trouver x tel que f(x) = y, on résout l'équation. Exemple : Trouver x tel que 3x + 5 = 11 → 3x = 6 → x = 2.
4. Déterminer une fonction à partir d'un graphique
- Choisir deux points sur la droite (ex : (x₁, y₁) et (x₂, y₂)).
- Calculer le coefficient directeur : a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
- Trouver b en utilisant un point : b = y₁ - a × x₁.
Exemple : Droite passant par (1,3) et (2,5) → a = (5-3)/(2-1) = 2 → b = 3 - 2×1 = 1 → f(x) = 2x + 1.
5. Applications
- Proportionnalité : Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité.
- Tarifs : Une fonction affine peut représenter un tarif avec un forfait (b) et un coût variable (a).
Exemple : Un taxi facture 2€ de prise en charge + 0.50€ par km → f(x) = 0.5x + 2.