Théorème de Pythagore et sa réciproque
Définition et théorème
Le théorème de Pythagore s’applique aux triangles rectangles uniquement. Il relie les longueurs des côtés :
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Formule : Si ABC est rectangle en A, alors :
BC² = AB² + AC²
Exemple :
- AB = 3 cm, AC = 4 cm → BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → BC = √25 = 5 cm.
Réciproque du théorème
La réciproque permet de vérifier si un triangle est rectangle :
Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Exemple :
- Côté 1 = 5 cm, côté 2 = 12 cm, côté 3 = 13 cm → 13² = 5² + 12² → 169 = 25 + 144 → Vrai ! Le triangle est rectangle.
Applications
- Calculer une longueur manquante dans un triangle rectangle.
- Vérifier si un angle est droit (avec la réciproque).
- Résoudre des problèmes concrets (ex : hauteur d’un arbre, distance entre deux points).
Astuces
- Toujours identifier l’hypoténuse (le côté le plus long).
- Utiliser la calculatrice pour les racines carrées.
- Vérifier les unités (tout doit être en cm, m, etc.).
Erreurs à éviter
- Appliquer le théorème à un triangle non rectangle.
- Confondre l’hypoténuse avec un autre côté.
- Oublier de vérifier l’unité des longueurs.