Théorème de Thalès et sa réciproque
1. Théorème de Thalès
Définition : Si deux droites sont sécantes en un point A, et si deux autres droites parallèles coupent ces sécantes, alors elles déterminent deux triangles semblables.
Formule : Pour deux triangles ABC et ADE avec (DE) // (BC), on a :
AD/AB = AE/AC = DE/BC
Exemple : Soit un triangle ABC avec AB = 6 cm, AC = 8 cm. On place D sur [AB] tel que AD = 2 cm et E sur [AC] tel que (DE) // (BC). Calculer AE et DE.
Solution : AD/AB = 2/6 = 1/3 = AE/AC → AE = (1/3)*8 ≈ 2,67 cm. DE/BC = 1/3 → DE = (1/3)*BC. Pour trouver BC, on utilise le théorème de Pythagore si ABC est rectangle, sinon on mesure.
2. Réciproque du théorème de Thalès
Définition : Si deux droites sécantes sont coupées par deux autres droites et que les rapports des longueurs sont égaux, alors ces deux dernières droites sont parallèles.
Formule : Pour deux points D et E sur [AB] et [AC], si AD/AB = AE/AC, alors (DE) // (BC).
Exemple : Dans un triangle ABC, AB = 5 cm, AC = 7 cm. On place D sur [AB] avec AD = 3 cm et E sur [AC] avec AE = 4,2 cm. Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ?
Solution : AD/AB = 3/5 = 0,6 et AE/AC = 4,2/7 = 0,6. Les rapports sont égaux, donc (DE) // (BC).
3. Cas particuliers
- Configuration "papillon" : Les droites sécantes sont des diagonales d'un quadrilatère.
- Configuration "triangle" : Les droites sécantes sont deux côtés d'un triangle.
4. Applications
- Calculer des longueurs manquantes.
- Démontrer que deux droites sont parallèles.
- Résoudre des problèmes de géométrie dans l'espace (ex : pyramides).
5. Erreurs à éviter
- Oublier de vérifier que les droites sont sécantes en un même point.
- Confondre le théorème et sa réciproque.
- Négliger les unités de mesure.
Astuce : Toujours schématiser la situation pour visualiser les rapports.