Probabilités — Calcul et arbres
Définitions clés
- Expérience aléatoire : Une expérience dont le résultat n’est pas prévisible à l’avance (ex : lancer un dé, tirer une carte).
- Issue : Résultat possible d’une expérience aléatoire (ex : "obtenir 3" avec un dé).
- Événement : Ensemble d’issues (ex : "obtenir un nombre pair" avec un dé).
- Probabilité : Nombre entre 0 et 1 qui mesure la chance qu’un événement se produise. Notée P(événement).
Calcul de probabilités
Pour une expérience aléatoire, si toutes les issues ont la même chance de se produire (équiprobabilité) :
Formule :
P(événement) = (Nombre d’issues favorables) / (Nombre total d’issues)
Exemple :
- Avec un dé à 6 faces, P("obtenir un 5") = 1/6.
- P("obtenir un nombre pair") = 3/6 = 1/2.
Arbres de probabilités
Un arbre de probabilités permet de représenter une expérience en plusieurs étapes.
Exemple : On lance une pièce de monnaie deux fois.
- 1ère étape : Pile (P) ou Face (F).
- 2ème étape : P ou F.
P
/ \
P F
/ \ / \
P F P F
Calcul :
- P("Pile puis Face") = P(P) × P(F) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
- P("au moins un Pile") = 1 - P("deux Faces") = 1 - 1/4 = 3/4.
Règles importantes
- Probabilité totale : La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.
- Événements incompatibles : Deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps (ex : "obtenir 1" et "obtenir 2" avec un dé).
- Événements contraires : Si A est un événement, son contraire est "non A". P(A) + P(non A) = 1.
Astuces
- Toujours vérifier que la somme des probabilités des issues est égale à 1.
- Pour un arbre, multiplier les probabilités le long des branches.
- Simplifier les fractions pour rendre les calculs plus clairs.