Théorème de Pythagore — Applications et réciproque
1. Définition et théorème
Le théorème de Pythagore s’applique aux triangles rectangles : si un triangle est rectangle en A, alors le carré de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Formule :
AB² + AC² = BC² (où BC est l’hypoténuse).
Exemple : Dans un triangle rectangle ABC avec AB = 3 cm, AC = 4 cm, alors BC = √(3² + 4²) = 5 cm.
2. Applications directes
- Calculer une longueur manquante : Si deux côtés sont connus, on utilise le théorème pour trouver le troisième. Exemple : AB = 6 cm, BC = 10 cm → AC = √(10² - 6²) = 8 cm.
- Vérifier qu’un triangle est rectangle : Si
AB² + AC² = BC², alors le triangle est rectangle en A.
3. Réciproque du théorème
La réciproque permet de prouver qu’un triangle est rectangle : si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle.
Exemple : Dans un triangle DEF avec DE = 5 cm, DF = 12 cm, EF = 13 cm → 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² → DEF est rectangle en D.
4. Pièges à éviter
- Ne pas confondre hypoténuse (côté le plus long) avec les autres côtés.
- Toujours vérifier que le triangle est rectangle avant d’appliquer le théorème.
- Attention aux unités : toutes les longueurs doivent être dans la même unité.
5. Cas particuliers
- Triangle 3-4-5 : Un classique ! 3² + 4² = 5² → toujours rectangle.
- Triangle isocèle rectangle : Les deux côtés de l’angle droit sont égaux. Si AB = AC = a, alors BC = a√2.
Astuce : Utilisez le théorème pour calculer des distances dans un repère (ex : distance entre deux points A(x₁,y₁) et B(x₂,y₂) : AB = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)).