Cercle — Angle inscrit, diamètre et propriétés

1. Définitions clés

• Cercle : Ensemble des points situés à égale distance d’un point appelé centre.
• Diamètre : Segment passant par le centre, reliant deux points du cercle. Sa longueur est le double du rayon.
• Corde : Segment reliant deux points du cercle (le diamètre est une corde particulière).
• Angle inscrit : Angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont des cordes.
• Angle au centre : Angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés sont des rayons.

2. Propriétés fondamentales

• Propriété 1 : Dans un cercle, si un angle est inscrit et intercepte le même arc qu’un angle au centre, alors l’angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre. Exemple : Si l’angle au centre mesure 80°, l’angle inscrit interceptant le même arc mesure 40°.

• Propriété 2 : Si un angle inscrit intercepte un diamètre, alors il est droit (90°). Exemple : Dans un demi-cercle, tout triangle formé par un diamètre et un point du cercle est rectangle.

3. Applications

• Calcul d’angles : Utiliser les propriétés pour trouver des angles manquants dans une figure.
• Construction : Tracer un angle droit en utilisant un diamètre et un point sur le cercle.

4. Schéma récapitulatif

        O (centre)
        *
       / \
      /   \
     A-----B  (diamètre AB)
    / \   / \
   /   \ /   \
  C-----D-----E  (points sur le cercle)

• Angle inscrit ACB intercepte le diamètre AB → angle droit (90°).
• Angle au centre AOB = 180° (angle plat).
• Angle inscrit ADB = 90° (moitié de 180°).

5. Pièges à éviter

• Confondre angle inscrit et angle au centre : l’angle inscrit est toujours plus petit.
• Oublier que le diamètre est une corde particulière passant par le centre.
• Ne pas vérifier si l’angle inscrit intercepte bien un diamètre pour appliquer la propriété 2.