Dérivation et étude complète des fonctions : sens de variation et extrema

🎯 L'essentiel en 30 secondes

• Dérivée = boussole : Si f'(x) > 0 → fonction croissante ; si f'(x) < 0 → fonction décroissante.
• Extremum : Point où f'(x) = 0 ET la dérivée change de signe (ex : sommet d'une montagne).
• Tableau de variation : Schéma clé pour visualiser les intervalles de croissance/décroissance et les extrema.
• Formule magique :

  f(x) = ax² + bx + c ⇒ f'(x) = 2ax + b
  

• TVI : Si f est continue et change de signe sur [a;b], alors f s'annule au moins une fois entre a et b.

💡 Le Concept Décrypté

Imagine que tu es en voiture sur une route de montagne. La dérivée, c’est ton compteur de vitesse :

• Si l’aiguille est au-dessus de 0 (vitesse positive), tu montes (fonction croissante).
• Si elle est en dessous de 0 (vitesse négative), tu descends (fonction décroissante).
• Si l’aiguille passe par 0 (vitesse nulle), tu es soit au sommet (maximum), soit dans une vallée (minimum), soit dans un plateau (point d’inflexion).

Ce concept existe pour prédire le comportement des fonctions : en économie (coût minimal), en physique (trajectoire optimale), ou même en biologie (croissance d’une population). Sans la dérivée, impossible de savoir où une fonction accélère, ralentit, ou atteint son pic !

📐 La Méthode Pas-à-Pas

Exemple : Étudier les variations de f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5 sur ℝ.

Étape 1 : Calculer la dérivée

f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5
f'(x) = 3x² - 6x - 9  // Dérivée de x³ est 3x², de -3x² est -6x, etc.

Étape 2 : Trouver les points critiques (où f'(x) = 0)

3x² - 6x - 9 = 0
Diviser par 3 : x² - 2x - 3 = 0
Factoriser : (x - 3)(x + 1) = 0
Solutions : x = 3 ou x = -1

Étape 3 : Étudier le signe de f'(x)

• Factoriser f'(x) : f'(x) = 3(x - 3)(x + 1)
• Tableau de signes :

• Interprétation :
  • f'(x) > 0 sur ]-∞; -1[ ∪ ]3; +∞[ → f croissante.
  • f'(x) < 0 sur ]-1; 3[ → f décroissante.

Étape 4 : Identifier les extrema

• En x = -1 : f'(x) passe de + à - → maximum local. f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10 → Point (-1; 10).
• En x = 3 : f'(x) passe de - à + → minimum local. f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22 → Point (3; -22).

Étape 5 : Construire le tableau de variation

| x       | -∞ | -1       | 3        | +∞ |
|---------|----|----------|----------|----|
| f'(x)   | +  | 0 -      | 0 +      | +  |
| f(x)    | ↗  | 10 ↘     | -22 ↗    | ↗  |

Étape 6 : Appliquer le TVI (exemple)

• Sur [-2; 0], f est continue (polynôme) et change de signe (f(-2) = 3 et f(0) = 5 → pas de changement ici, mais si on prend [0; 4] : f(0) = 5 et f(4) = -15 → changement de signe).
• Conclusion : f s’annule au moins une fois entre 0 et 4.

❌ Le Piège du Prof

Erreur classique :

• ❌ « Si f'(a) = 0, alors a est un extremum. »
• ✅ Correction : f'(a) = 0 est nécessaire mais pas suffisant ! Il faut que la dérivée change de signe autour de a.

Exemple piège : f(x) = x³ en x = 0.

• f'(0) = 0, mais f'(x) = 3x² est toujours positive (sauf en 0).
• Conclusion : Pas d’extremum en 0, juste un point d’inflexion.

Pourquoi cette erreur ? Le cerveau associe automatiquement « dérivée nulle » à « sommet », comme en physique où vitesse nulle = arrêt. Mais en maths, la dérivée doit changer de sens pour confirmer un extremum !

🛠️ Fiche Technique & Mots-clés

Formules clés

• Dérivée et sens de variation :

  • f'(x) > 0 sur I ⇒ f strictement croissante sur I.
  • f'(x) < 0 sur I ⇒ f strictement décroissante sur I.
  • f'(x) = 0 sur I ⇒ f constante sur I.

• Extremum local :

  • f'(a) = 0 ET f' change de signe en a ⇒ a est un extremum local.
  • Si f' passe de + à - ⇒ maximum local.
  • Si f' passe de - à + ⇒ minimum local.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

• Si f est continue sur [a; b] et k est entre f(a) et f(b), alors il existe c ∈ [a; b] tel que f(c) = k.
• Cas particulier : Si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors f s’annule au moins une fois sur [a; b].

Tableau de variation

• Étapes :
  1. Calculer f'(x) et trouver ses racines.
  2. Étudier le signe de f'(x) sur les intervalles délimités par les racines.
  3. En déduire les variations de f et les extrema.
  4. Tracer le tableau avec les flèches (↗ pour croissant, ↘ pour décroissant).

Mots-clés à retenir

• Dérivée : Outil pour étudier les variations d’une fonction.
• Tableau de variation : Représentation visuelle des intervalles de croissance/décroissance.
• Extremum : Point où la fonction atteint un maximum ou un minimum local/global.
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Garantit l’existence de solutions pour f(x) = k sous certaines conditions.