Divisibilité, multiples et diviseurs : critères et PGCD

🎯 L'essentiel en 30 secondes

• Critère de divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8). Exemple : 346 est divisible par 2 car il se termine par 6.

• Critère de divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemple : 123 → 1 + 2 + 3 = 6 (6 est divisible par 3).

• Critère de divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. Exemple : 250 et 85 sont divisibles par 5.

• Critère de divisibilité par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple : 729 → 7 + 2 + 9 = 18 (18 est divisible par 9).

• Critère de divisibilité par 10 : Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0. Exemple : 150 est divisible par 10.

• PGCD : Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres. Méthode : lister les diviseurs et prendre le plus grand commun. Formule clé :

  PGCD(a, b) = Plus grand nombre qui divise à la fois a et b
  

💡 Le Concept Décrypté

Imagine que tu organises une fête et que tu dois répartir tes bonbons sans en casser aucun entre tes amis. Si tu as 20 bonbons et 5 amis, tu peux donner 4 bonbons à chacun (20 ÷ 5 = 4). On dit que 20 est divisible par 5, ou que 5 est un diviseur de 20. Les critères de divisibilité sont comme des astuces magiques pour savoir rapidement si un nombre peut être partagé équitablement, sans avoir à faire la division.

Par exemple, si tu vois un nombre qui se termine par 0 (comme 30 ou 100), tu sais tout de suite qu’il peut être partagé entre 10 amis sans reste. C’est le critère de divisibilité par 10 ! Ces règles sont utiles en maths, mais aussi dans la vie de tous les jours : pour partager des objets, calculer des durées, ou même vérifier si un nombre est premier (un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même).

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur), c’est comme trouver la plus grande boîte dans laquelle tu peux ranger deux collections d’objets sans mélanger les tailles. Par exemple, si tu as 12 crayons et 18 feutres, le PGCD de 12 et 18 est 6 : tu peux faire 6 groupes avec 2 crayons et 3 feutres chacun.

📐 La Méthode Pas-à-Pas

Problème : Vérifier si 252 est divisible par 2, 3, 5, 9 et 10, puis trouver le PGCD de 252 et 180.

Étape 1 : Appliquer les critères de divisibilité

Étape 2 : Trouver le PGCD de 252 et 180

Méthode : Lister tous les diviseurs de chaque nombre et trouver le plus grand commun.

• Diviseurs de 252 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252.
• Diviseurs de 180 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

Diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. PGCD : Le plus grand diviseur commun est 36.

PGCD(252, 180) = 36

❌ Le Piège du Prof

Erreur classique : Confondre les critères de divisibilité par 3 et par 9.

Pourquoi cette erreur ? Le cerveau a tendance à généraliser : comme la somme des chiffres est importante pour 3 et 9, on oublie que le résultat doit être divisible par 9 (et pas juste par 3). Pour éviter ce piège, retiens :

• Divisible par 3 → Somme divisible par 3.
• Divisible par 9 → Somme divisible par 9.

🛠️ Fiche Technique & Mots-clés

Définitions clés

• Divisibilité : Un nombre a est divisible par un nombre b s’il existe un nombre k tel que a = b × k.
• Multiples : Les multiples d’un nombre n sont les résultats de n × k (où k est un entier). Exemple : les multiples de 5 sont 5, 10, 15, 20...
• Diviseurs : Les diviseurs d’un nombre n sont les nombres qui divisent n sans reste. Exemple : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Nombres premiers : Nombres qui n’ont que deux diviseurs : 1 et eux-mêmes. Exemple : 2, 3, 5, 7, 11...

Critères de divisibilité

PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

• Méthode : Lister les diviseurs des deux nombres et prendre le plus grand commun.
• Exemple : PGCD(18, 24) = 6.

Astuce bonus

Pour retenir les critères, pense à des phrases mnémotechniques :

• 2 : « Un nombre pair, c’est bien pour deux ! »
• 5 : « Zéro ou cinq, c’est magique ! »
• 10 : « Termine par zéro, c’est parfait pour dix ! »