Fonctions linéaires et affines : tableau de valeurs et représentation graphique

🎯 L'essentiel en 30 secondes

• Fonction affine : f(x) = ax + b (droite non verticale)

  • a = coefficient directeur (pente)
  • b = ordonnée à l’origine (point où la droite coupe l’axe des y)

• Fonction linéaire : cas particulier où b = 0 → f(x) = ax (droite passant par l’origine)

• Représentation graphique : toujours une droite

  • Si a > 0 : droite montante
  • Si a < 0 : droite descendante
  • Si a = 0 : droite horizontale (fonction constante)

• Tableau de valeurs : calcule f(x) pour 2-3 valeurs de x pour tracer la droite

• Formule clé :

  a = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁)
  

💡 Le Concept Décrypté

Imagine que tu es en train de remplir une piscine avec un tuyau d’arrosage. Le débit d’eau est constant (par exemple, 5 litres par minute). Au début, la piscine est déjà à moitié pleine (100 litres).

• Le débit (5 L/min) : c’est le coefficient directeur (a). Il te dit combien d’eau s’ajoute chaque minute.
• Les 100 litres initiaux : c’est l’ordonnée à l’origine (b). Même si tu n’ajoutes pas d’eau, il y en a déjà !

La quantité totale d’eau dans la piscine après x minutes est donc : f(x) = 5x + 100.

À quoi ça sert ?

• Prévoir la quantité d’eau à un moment donné (ex : après 30 min → f(30) = 250 L).
• Tracer un graphique pour visualiser l’évolution (une droite qui monte).
• Comparer deux situations (ex : deux piscines avec des débits différents).

En maths, les fonctions affines modélisent toutes les situations où une grandeur évolue de manière régulière (prix, distance, température…).

📐 La Méthode Pas-à-Pas

Exemple : Représenter graphiquement la fonction affine f(x) = 2x - 1.

Étape 1 : Identifier a et b

• a = 2 (coefficient directeur)
• b = -1 (ordonnée à l’origine)

Étape 2 : Construire un tableau de valeurs

Choisis 3 valeurs simples pour x (par exemple : -1, 0, 1) et calcule f(x) :

Étape 3 : Placer les points dans un repère

• Point A : (-1 ; -3)
• Point B : (0 ; -1)
• Point C : (1 ; 1)

Étape 4 : Tracer la droite

• Relie les points avec une règle : tu obtiens une droite montante (car a = 2 > 0).
• La droite coupe l’axe des ordonnées (y) en -1 (valeur de b).

       y
       ^
       |        C(1;1)
       |       /
       |      /
       |     /
       |    B(0;-1)
       |   /
       |  /
-------+----------> x
       | A(-1;-3)

Étape 5 : Vérifier avec le coefficient directeur

• Pour passer de B (0 ; -1) à C (1 ; 1) :
  • On avance de 1 en x (→)
  • On monte de 2 en y (↑) car a = 2

❌ Le Piège du Prof

Erreur classique : Confondre b (ordonnée à l’origine) avec un point de la droite.

❌ Ce que fait l’élève :

• Pour f(x) = 3x + 2, il place le point (2 ; 0) en pensant que b = 2 est un point.

✅ Correction :

• b = 2 signifie que la droite coupe l’axe des y en (0 ; 2).
• Pour trouver un point, il faut calculer f(x) pour une valeur de x (ex : f(1) = 5 → point (1 ; 5)).

Pourquoi cette erreur ?

• Le cerveau associe naturellement b à un point parce que c’est un nombre. Mais b est une valeur de y, pas un couple (x ; y) !
• Astuce : Retiens que b est toujours sur l’axe des y (donc x = 0).

🛠️ Fiche Technique & Mots-clés

Définitions

• Fonction affine : Fonction de la forme f(x) = ax + b où a et b sont des nombres réels. Sa représentation graphique est une droite.
• Fonction linéaire : Cas particulier de fonction affine où b = 0 (f(x) = ax). Sa droite passe par l’origine (0 ; 0).

Formules clés

• Coefficient directeur (a) :

a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

- Mesure la **pente** de la droite.
- Si `a > 0` : droite montante.
- Si `a < 0` : droite descendante.

- **Ordonnée à l’origine** (`b`) : Valeur de `f(0)`. Point où la droite coupe l’axe des `y` : `(0 ; b)`.

### Méthode pour tracer une droite
1. Identifier `a` et `b` dans `f(x) = ax + b`.
2. Construire un **tableau de valeurs** avec 2-3 points.
3. Placer les points dans un repère.
4. Relier les points avec une règle.

### Mots-clés à retenir
- `fonction affine`, `fonction linéaire`, `coefficient directeur`, `ordonnée à l'origine`, `représentation graphique`.

### Règle d’or
> *Une fonction affine est une droite. Pour la tracer, 2 points suffisent… mais 3 points permettent de vérifier !*