Inéquations et intervalles : résolution et représentation

🎯 L'essentiel en 30 secondes

• Une inéquation : c’est une inégalité avec une inconnue (ex: 3x + 2 > 5).
• Résoudre = trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’inégalité.
• Solution = un intervalle (ex: x ∈ ]1 ; +∞[).
• Règle d’or :

  Si on multiplie ou divise par un nombre NÉGATIF,
  on inverse le SENS de l’inégalité.
  

• Représentation : une droite graduée avec un crochet ouvert (⟨ ou ⟩) ou fermé ([ ou ]).

Chiffre clé : 90% des erreurs viennent de l’oubli de l’inversion du sens de l’inégalité !

💡 Le Concept Décrypté

Imagine que tu organises une fête et que tu as 50 € pour acheter des pizzas et des sodas. Une pizza coûte 8 € et un soda 2 €. Tu veux savoir combien de pizzas tu peux acheter sans dépasser ton budget.

Si tu notes x le nombre de pizzas, ton problème se traduit par l’inéquation :

8x + 2 × (nombre de sodas) ≤ 50

Résoudre cette inéquation, c’est trouver toutes les valeurs possibles de x (le nombre de pizzas) qui respectent ta contrainte budgétaire. Par exemple, si tu prends 3 sodas, l’inéquation devient :

8x + 6 ≤ 50

Tu trouveras que tu peux acheter au maximum 5 pizzas (car 8×5 + 6 = 46 ≤ 50, mais 8×6 + 6 = 54 > 50).

Les inéquations servent à modéliser des limites dans la vraie vie : budget, temps, ressources, contraintes physiques… Elles permettent de répondre à des questions comme : « Jusqu’à combien puis-je aller sans dépasser ? » ou « À partir de quand est-ce que ça devient trop ? ».

📐 La Méthode Pas-à-Pas

Exemple : Résoudre l’inéquation 3x – 5 < 7 et représenter l’ensemble solution.

Représentation de l’ensemble solution :

• On trace une droite graduée.
• On place un crochet ouvert en 4 (car x < 4, donc 4 n’est pas inclus).
• On hachure la partie à gauche de 4 (car x peut prendre toutes les valeurs inférieures à 4).

Intervalle : x ∈ ]–∞ ; 4[

Vérification : Prenons x = 3 (qui est dans l’intervalle) : 3×3 – 5 = 4 < 7 ✔️ Prenons x = 4 (hors intervalle) : 3×4 – 5 = 7 n’est pas < 7 ✖️

❌ Le Piège du Prof

Erreur classique : Oublier d’inverser le sens de l’inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Pourquoi cette erreur ? Le cerveau a tendance à ignorer le signe du nombre par lequel on divise, car il se concentre sur la valeur absolue. Pourtant, multiplier ou diviser par un négatif renverse l’ordre : si –2x > 6, alors x doit être plus petit que –3 pour que l’inégalité reste vraie (ex: x = –4 → –2×(–4) = 8 > 6 ✔️).

Astuce : Souligne toujours le signe du nombre avant de diviser/multiplier et écris « INVERSER » en gros à côté si c’est négatif !

🛠️ Fiche Technique & Mots-clés

Définitions

• Inéquation : Une inégalité qui contient une inconnue (ex: 2x + 3 ≤ 7).
• Solution d’une inéquation : Toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inégalité.
• Ensemble solution : L’intervalle ou la réunion d’intervalles qui regroupe toutes les solutions.

Règles de résolution

1. Ajouter/soustraire un même nombre des deux côtés : sens de l’inégalité inchangé. Ex: x + 5 > 3 → x > 3 – 5.
2. Multiplier/diviser par un nombre positif : sens de l’inégalité inchangé. Ex: 3x ≤ 9 → x ≤ 3.
3. Multiplier/diviser par un nombre négatif : inverser le sens de l’inégalité. Ex: –2x > 4 → x < –2.

Représentation des intervalles

Mots-clés à retenir

• Inéquation : Outil pour modéliser des contraintes.
• Intervalle : Ensemble des solutions possibles.
• Solution : Valeur qui vérifie l’inégalité.
• Ensemble solution : Tous les x qui marchent.
• Inégalité : Symbole (<, >, ≤, ≥) qui compare deux expressions.
• Sens de l’inégalité : Direction du symbole (< ou >), à inverser si multiplication/division par un négatif.